PanaMaths Mai 2011
Calculer l’intégrale définie :
1 2 1
I x 3
xdx
−
= ∫
Analyse
La présence du facteur polynomial suggère une intégration par parties …
Résolution
Soit la fonction f définie sur l’intervalle
[
−1 ; 1]
par x6 f x( )
=x2. Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme et on a : ∀ ∈ −x[
1 ; 1 ,] ( )
f' x =2x qui est également continue sur l’intervalle[
−1 ; 1]
en tant que fonction polynôme.Soit maintenant la fonction définie sur l’intervalle
[
−1 ; 1]
par x63x =ex×ln 3. Elle y est continue comme composée de la fonction linéaire x6ln 3×x, continue sur cet intervalle, et de la fonction exponentielle, continue sur \. La fonction :( )
1 ln 3 1 3ln 3 ln 3
x x
g x6g x = e× = en est une primitive sur l’intervalle
[
−1; 1]
.Une première intégration par parties donne donc :
( )
1 2 1
1 1
2
1 1
1 1
1 1
1
I 3
1 2
3 3
ln 3 ln 3
1 2
3 3 3
ln 3 ln 3
8 2
3ln 3 ln 3 3
x
x x
x
x
x dx
x x dx
x dx
x dx
−
− −
−
−
−
=
⎡ ⎤
=⎢⎣ ⎥⎦ −
= − −
= −
∫
∫
∫
∫
On va maintenant calculer l’intégrale
1
1
J x3xdx
−
=
∫
en procédant à une nouvelle intégration par parties.PanaMaths Mai 2011
Soit la fonction f définie sur l’intervalle
[
−1 ; 1]
par x6 f x( )
=x. Elle y est dérivable en tant que fonction polynôme et on a : ∀ ∈ −x[
1 ; 1 ,] ( )
f' x =1 qui est également continue sur l’intervalle[
−1 ; 1]
en tant que fonction polynôme (constante).Les considérations relatives à la fonction x63x =ex×ln 3 sont inchangées.
L’intégration par partie donne alors :
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1 1 1
1
1 1
2 1
2
1 1
J 3 3 3
ln 3 ln 3
1 1 1 10 1
3 3 3 3 3
ln 3 ln 3 ln 3 3ln 3 ln 3
10 8
3ln 3 3 ln 3
x x x
x
x dx x dx
− − −
− −
−
⎡ ⎤
= =⎢⎣ ⎥⎦ −
⎡ ⎤
= + − ⎢⎣ ⎥⎦ = − −
= −
∫ ∫
Il vient donc :
( ) ( ) ( )
1
1
2
2 3
8 2
I 3
3ln 3 ln 3
8 2
3ln 3 ln 3J
8 2 10 8
3ln 3 ln 3 3ln 3 3 ln 3
8 20 16
3ln 3 3 ln 3 3 ln 3 x xdx
−
= −
= −
⎡ ⎤
= − ⎢ − ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − +
∫
Finalement :
( ) ( )
1 2
2 3
1
8 20 16
I 3 0, 926
3ln 3 3 ln 3 3 ln 3 x xdx
−
=
∫
= − +Résultat final
( ) ( )
1 2
2 3
1
8 20 16
I 3 0, 926
3ln 3 3 ln 3 3 ln 3 x xdx
−
=
