PanaMaths Mai 2014
Soit a a
1,
2,..., a b b
n, ,
1 2,..., b
n2n réels.
Calculer le déterminant :
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
n n n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
d
a b a b a b
− − −
− − −
=
− − −
"
"
# # % #
"
Analyse
On peut calculer les premières valeurs de dn, pour de petites valeurs de n. Mais une fois encore, dans le cas général, on a intérêt à « revenir aux fondamentaux » en adoptant une approche vectorielle du problème posé.
Résolution
Pour n=1, on a immédiatement : d1= a1−b1 = −a1 b1 (Attention ! Ici, l’écriture « a1−b1 » ne désigne pas la valeur absolue de a1−b1 !).
Pour n=2, on a immédiatement :
( )( ) ( )( )
( )( )
1 1 1 2
2
2 1 2 2
1 1 2 2 1 2 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
2 1 2 1
a b a b
d a b a b
a b a b a b a b
a b b a a b a b
a a b b
− −
= − −
= − − − − −
= − − + +
= − −
Pour n≥3, nous allons introduire les vecteurs u a aG
(
1, 2, ...,an)
et vG
(
− −1, 1, ..., 1−)
dans la base canonique de \n.
Dans ces conditions, on a :
(
1 2)
det , , ...,
n n
d = uG+b v uG G+b vG uG+b vG
PanaMaths Mai 2014
En utilisant la multi-linéarité du déterminant, on va pouvoir écrire dn sous la forme d’une somme de déterminants où, dans chacun d’eux, l’un des vecteurs uG
ou vG
apparaîtra au moins deux fois. Le déterminant étant une forme alternée, chacun des déterminants ainsi obtenu sera nul.
En définitive, on a aura : dn =0.
Résultat final
1 1 1
d = −a b, d2 =
