Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2012-2013
D. Blotti`ere Maple
TP n˚2
Alg` ebre lin´ eaire (partie 1)
Exercice 1 (R´esolution d’un syst`eme lin´eaire)
On se propose d’utiliser Maple afin d’´etudier le syst`eme lin´eaire
(S) :
a + 2b + c + 4d + 3e = 0
a + b + c + 3d + 2e = 0
2a + 3b + 2c + 7d + 5e = 0
3a + 5b + 3c + 11d + 8e = 0
d’inconnue (a, b, c, d, e)∈R5.
1. Introduction de la matrice des coefficients de(S)et op´erations sur cette matrice (a) D´efinir la matriceAdes coefficients de (S).
Mot cl´e : matrix.
(b) Extraire le coefficient d’adresse (2,4) deA.
(c) Extraire la deuxi`eme ligne deA.
Mot cl´e : row.
(d) Extraire la premi`ere colonne de A.
Mot cl´e : col.
(e) Extraire la sous-matrice deAobtenue en supprimant la premi`ere ligne et la troisi`eme colonne.
Mot cl´e : submatrix.
2. D´efinition des lignes du syst`eme (S) (a) D´efinir le vecteur (a, b, c, d, e), not´eu.
Mot cl´e : vector.
(b) Extraire la premi`ere ligne de la matriceA, puis d´efinir la premi`ere ligneL1 a + 2b + c + 4d + 3e = 0 du syst`eme (S).
Mots cl´es : row, transpose, &*, evalm.
(c) D´efinir de mˆemeL2,L3 etL4 qui sont respectivement les deuxi`eme, troisi`eme et quatri`eme lignes de (S).
3. L’ensemble solutionF du syst`eme (S) (a) Quelle structure poss`ede l’ensemble solution
F =
(a, b, c, d, e)∈R5 :
a + 2b + c + 4d + 3e = 0
a + b + c + 3d + 2e = 0
2a + 3b + 2c + 7d + 5e = 0
3a + 5b + 3c + 11d + 8e = 0
de (S) ? Justifier la r´eponse en citant un th´eor`eme du cours.
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(b) Calculer le rang de la matriceA.
Mot cl´e : rank.
(c) D´eduire du r´esultat de 3.(b) la dimension de F.
Justifier la r´eponse en citant un th´eor`eme du cours.
(d) R´esoudre le syst`eme (S) en utilisant L1,L2, L3,L4 et la commande solve. Le r´esultat sera affect´e dans une variable not´esolution.
(e) En utilisant solution, d´efinir trois vecteurs u1,u2,u3, en Maple, formant une famille g´en´eratrice de F.
Mot cl´e : subs, seq.
(f) Justifier, sans calcul, en citant un th´eor`eme du cours, que (u1, u2, u3) forme une base deF. 4. Calcul ≪rapide≫ de l’ensemble solutionF de (S)
(a) Commande kernel
i. Interpr´eter l’ensemble F comme un noyau.
ii. Utiliser la commande kernel pour trouver une base deF, puis comparer `a la r´eponse obtenue en 3.(f).
(b) Commande linsolve
i. D´efinir le vecteur (0,0,0,0), not´ev.
Mot cl´e : vector.
ii. Utiliser la commande linsolve pour trouver une famille g´en´eratrice de F, puis comparer `a la r´eponse obtenue en 3.(e).
Exercice 2 (Proc´edure testant si un syst`eme lin´eaire est ou non de Cramer)
1. Rappeler la d´efinition d’un syst`eme de Cramer.
2. ´Ecrire une proc´edureIs Cramerd’argument une matriceA, qui retourne :
• 1 si un syst`eme lin´eaire de matrice de coefficientsA est de Cramer ;
• 0 sinon.
Mots cl´es : proc, return, if, rowdim, coldim, rank.
3. Tester la proc´edureIs Cramer´ecrite en 2. sur les matrices suivantes.
1 1 2 2
1 2 1
2 1 0
1 0 2 1
Exercice 3 (Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable)
SoitAla matrice d´efinie par :A=
1 −3 3
−2 0 2 1 −1 3
.
1. Calcul des premi`eres puissances de A et complexit´e (a) CalculerAn pour toutn∈J2,10K.
On s’efforcera d’optimiser l’algorithme, par exemple en faisant une boucle et en introduisant une va- 2
riable auxiliaire.
Mots cl´es : for, &*, evalm.
(b) Combien d’op´erations (addition et multiplication) sont n´ecessaires pour calculer le produit de deux matrices 3×3 ?
(c) Soitn∈N≥2. Combien d’op´erations sont n´ecessaires pour calculerAn? 2. El´´ ements propres deA
(a) Affecter la matriceI3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
dans une variable not´eeI3.
Mot cl´e : diag.
(b) Rappeler le crit`ere d’inversibilit´e d’une matrice 3×3 donn´e par le d´eterminant.
(c) D´eterminer les r´eelsxtels que la matriceA−xI3ne soit pasinversible.
Mots cl´es : det, solve.
(d) Soientλ1< λ2< λ3 les trois r´eels obtenus en 2.(c), rang´es dans l’ordre croissant.
i. Justifier que pour toutλ∈R,
(x1, x2, x3)∈R3 : A
x1
x2
x3
=λ
x1
x2
x3
est un sous-espace vectoriel de R3, en r´e´ecrivant cet ensemble sous une autre forme et en citant un th´eor`eme du cours.
ii. Montrer, avec Maple, que :
Eλ1 =
(x1, x2, x3)∈R3 : A
x1
x2
x3
=λ1
x1
x2
x3
est de dimension 1. En donner un vecteur de base. On notera u1 ce vecteur dans la suite, et on le stockera dans la variable Mapleu1.
Mot cl´e : kernel.
iii. Montrer, avec Maple, que :
Eλ2 =
(x1, x2, x3)∈R3 : A
x1
x2
x3
=λ2
x1
x2
x3
est de dimension 1. En donner un vecteur de base. On notera u2 ce vecteur dans la suite, et on le stockera dans la variable Mapleu2.
Mot cl´e : kernel.
iv. Montrer, avec Maple, que :
Eλ3 =
(x1, x2, x3)∈R3 : A
x1
x2
x3
=λ3
x1
x2
x3
est de dimension 1. En donner un vecteur de base. On notera u3 ce vecteur dans la suite, et on le stockera dans la variable Mapleu3.
Mot cl´e : kernel.
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v. D´emontrer, avec Maple, que la familleB= (u1, u2, u3) est une famille libre1deR3. Mot cl´e : op, concat, det, kernel.
vi. D´eduire de 2.(d).v que Best une base deR3, en citant un th´eor`eme du cours.
3. Changement de base
(a) Construire la matricePde passage de la base canonique deR3, not´ee,CanR3, `a la baseBpr´ec´edemment construite.
Mot cl´e : concat.
(b) Quelle est la matrice de l’endomorphisme ϕA de R3 canoniquement associ´e `a la matrice A dans la base B? On noteraD cette matrice dans la suite.
(c) Justifier que la matriceP est inversible que que l’on a la relationA=P DP−1, `a l’aide d’un th´eor`eme du cours.
4. Calcul ≪rapide≫ des puissances deA
(a) D´eduire de 3.(d) que pour toutn∈N∗ :An =P DnP−1.
(b) Soit n ∈ N∗. Le nombre d’op´erations (addition et multiplication) Nn n´ecessaires pour calculer le produitP DnP−1est la somme des trois nombres :
• NP−1, le nombre d’op´erations `a effectuer pour calculer l’inverse deP;
• NDn, le nombre d’op´erations `a effectuer pour calculerDn;
• Nmult, le nombre d’op´erations `a effectuer pour calculer les produits matricielsP Dn, puis (P Dn)P−1. i. CalculerNP−1, si l’on d´etermineP−1 avec l’algorithme du pivot de Gauß.
ii. Donner une m´ethode de calcul deDntelle que :NDn=n−1. Justifier la m´ethode de calcul propos´ee.
iii. En d´eduire le nombreNn.
iv. Critiquer le mode de calcul deNn (`a partir de la seule donn´ee de A) expos´e ci-dessus et comparer Nn avec le r´esultat de la question 1.(c) (cf. relation 3.(c)).
(c) CalculerAn pour toutn∈J2,10K, en utilisant la relation obtenue en 4.(a),en calculantDn de fa¸con
´econome. V´erifier la coh´erence avec les r´esultats obtenus `a la question 1.(a).
Mots cl´es : inverse, for, diag, &*.
Exercice 4 (Projection sur un plan parall`element `a une droite) Soit (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere de l’espace.
1. Soit P le plan d’´equation cart´esienne :x+y−z = 0.Soit−→u =−→ i + 2−→
j −−→
k. D´eterminer l’expression analytique de la projection d’un pointM(x, y, z) sur le planP parall`element `a la direction de−→u. 2. Soient (a, b, c)∈R3\ {(0,0,0)}et (α, β, γ)∈R3\ {(0,0,0)}. G´en´eraliser le r´esultat de 1., `a la projection
sur le plan d’´equation cart´esienneax+by+cz= 0 parall`element `a la direction du vecteur de coordonn´ees (α, β, γ).
Toutes les commandes Maple n´ecessaires `a la r´esolution de cet exercice ont pr´ec´edemment ´et´e introduites.
1. Ce r´esultat, que nous montrons avec Maple ici, figurera plus tard dans le cours sur la r´eduction des endomorphismes.
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