PanaMaths Mai 2012

PanaMaths Mai 2012

Calculer le déterminant d’ordre n suivant ( n ∈` * ) :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ( ) )

( )

( ) ( ) ( )

cos

cos 1 1 cos 1 2 cos 1 3 cos 1 cos 2 1 cos 2 2 cos 2 3 cos 2 cos 3 1 cos 3 2 cos 3 3 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 cos

cos 2 cos3 cos 4 cos 1

cos3 cos 4 cos5 cos 2

cos5

cos 4 cos6 cos 3

cos 1 cos 2 cos 3 cos

D

n

i j

n n n

n n n n n

n n n

n n n

= +

+ + + +

+ + + +

= + + + +

+ + + +

+ +

= +

+ + +

"

"

"

# # # % #

"

"

"

"

# # # % #

" ( ) ²ⁿ

Analyse

Quelques formules de trigonométrie et, surtout, un retour à la définition du déterminant de vecteurs et à sa caractéristique essentielle : la multilinéarité …

Résolution

On a classiquement : ^cos

(

^{i+ j}

)

^{=cos cosi j−sin sini j.}

Ainsi, la matrice colonne correspondant à la jème colonne du déterminant s’écrit :

( )

( )

( )

cos 1 cos1cos sin1sin cos1 sin1

cos 2 cos 2 cos sin 2 sin cos 2 sin 2

cos sin

cos cos cos sin sin cos sin

j j j

j j j

j j

n j n j n j n n

+

⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜= ⎟= ⎜ ⎟− ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ + ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

# # # #

Considérons alors les deux vecteurs ^uG

(

^{cos1 cos 2 " cosn}

)

^{et vG}

(

^{sin1 sin 2 " sinn}

)

^.

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D’après la remarque précédente, on a :

( )

det cos1. sin1. , cos 2. sin 2. , ..., cos . sin . Dn = uG− vG uG− vG n uG− n vG Pour n=1, on a ^uG

(

^cos1

)

^{et vG}

(

^sin1

)

. L’égalité précédente se récrit alors :

( ) (

^{2 2}

)

^{2 2}

1 det cos1. sin1. det cos 1 sin 1 cos 1 sin 1

D = uG− vG = − = −

On a aussi, par définition de D_n : D1= cos 2 =cos 2=cos 1 1

(

+ =

)

cos 1 sin 1² − ² .

Pour n=2, on a ^uG

(

^{cos1 cos 2}

)

^{et vG}

(

^{sin1 sin 2}

)

. En tenant compte de la multilinéarité du déterminant, il vient alors :

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 det cos1. sin1. , cos 2. sin 2.

det cos1. , cos 2. det cos1. , sin 2.

det sin1. , cos 2. det sin1. , sin 2.

cos1.cos 2. det ,

D u v u v

u u u v

v u v v

u u

= − −

= + −

+ − + − −

=

G G G G

G G G G

G G G G

G G

( )

( ) ( )

cos1.sin 2.det ,

sin1.cos 2.det , sin1.sin 2. det , u v

v u v v

−

− +

G G

G G G G

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2

cos1.sin 2.det , sin1.cos 2.det , cos1.sin 2.det , sin1.cos 2.det , sin1.cos 2 cos1.sin 2 .det ,

cos1 sin1 sin 1 2 .

cos 2 sin 2 sin1. cos1.sin 2 cos 2.sin1 sin1.sin 2 1

sin 1

u v v u

u v u v

u v

= − −

= − +

= −

= −

= − −

= − −

= −

G G G G

G G G G

G G

Ici encore, on peut retrouver ce résultat en revenant à la définition de D_n :

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2

2

2

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

cos 2 cos 3 cos 3 cos 4 cos 2.cos 4 cos 3

cos 3 1 .cos 3 1 cos 3

cos 3.cos1 sin 3.sin1 . cos 3.cos1 sin 3.sin1 cos 3 cos 3.cos 1 sin 3.sin 1 cos 3

cos 3. cos 1 1 sin 3.sin 1 cos 3. sin 1 sin 3.sin 1

sin 1. cos 3 sin D =

= −

= − + −

= + − −

= − −

= − −

= − −

= −

(

+

)

2

3 sin 1

= −

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Supposons cette fois n≥3.

En utilisant la multilinéarité du déterminant pour développer

( )

det cos1. sin1. , cos 2. sin 2. , ..., cos . sin . Dn = uG− vG uG− vG n uG− n vG on va faire apparaître 2ⁿ déterminants de la forme det

(

x xG G1, 2, ...,xG_n

)

où xG_i =uG ou vG

. Comme 3

n≥ , l’un des deux vecteurs uG ou vG

apparaîtra au moins deux fois et chacun de ces 2ⁿ déterminants sera nul. D’où : D_n =0.

Résultat final

2 2

1 cos 2 cos 1 sin 1

D = = − , D₂= −sin 1²

et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3 : D_n=0.