PanaMaths Mai 2018

PanaMaths Mai 2018

Calculer

2

( ) ( ) ( )

lim 1 1 1 2 2 ... 1 1

n

n n n

→+∞

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝

× − + × − + + − ×

⎠

Analyse

On fait bien sûr apparaître une somme de Riemann en utilisant judicieusement le facteur

« 1₂

n ». Le passage à la limite conduit alors au calcul d’une intégrale définie classique…

Résolution

Pour tout entier naturel k dans

a

^{1 ;n−1}

b

^{, on a :}

( )

₂

( )

1 1

k n k k 1 k k

k n k k n k f

n n n n n n n

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

× − = × × − = × = × −⎜⎝ ⎟⎠= ⎜ ⎟⎝ ⎠

avec ^{f x}

( )

^{= x× −}

(

^{1 x}

)

^.

On a donc, la fonction f s’annulant en 0 et en 1 :

( ) ( ) ( )

( )

^{1 1}

2

1 0 1

1 1 1 1

1 1 2 2 ... 1 1

n n n

k k k

k k k

n n n f f f

n n n n n n n

− −

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

× − + × − + + − × =

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠=

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠=

∑

⎜ ⎟⎝ ⎠ On en déduit immédiatement, la fonction f étant continue sur l’intervalle

[ ]

^{0 ; 1 :}

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

1 2

0 1

0 1

0

1 1

lim 1 1 2 2 ... 1 1 lim

d

1 d

n

n n

k

n n n f k

n n n

f x x

x x x

−

→+∞ →+∞

=

× − + × − + + − × = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= × −

∑

∫

∫

On doit donc calculer : ¹

( )

0

1 d

x× −x x

∫

^.

On effectue le changement de variable ^x=cos2

( )

^{u avec 0 ;}

u ⎡ π2⎤

∈ ⎢⎣ ⎥⎦. Il vient alors : ^{dx= −2 sin}

( ) ( )

^{u cos u du.}

PanaMaths Mai 2018

Puis :

( ) ( ( ) ) ^{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

0 2

2 2 2 2

0 2

2 cos u 1 cos u cos u sin u du 2 cos u sin u cos u sin u du

π

π

−

∫

× − =

∫

×

Sur l’intervalle 0 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦, on a ^cos

( )

^{u ≥0 et sin}

( )

^{u ≥0. D’où :}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ( ) )

( )

( ) ( )

2 2

2 2

0 0

2

2 2

0

2 2

0 2

2 0 2

0

2 0

2 cos sin cos sin d 2 cos sin cos sin d

2 cos sin d

2 1 2 cos sin d

4

1 sin 2 d 2

1 1 1 cos 4 d 2 2

1 1

sin 4

4 4

1 1 1

sin 2 0 sin 0

4 2 4 4

8

u u u u u u u u u u

u u u

u u u

u u

u u

u u

π π

π

π

π

π

π

π π

π

× = ×

=

=

=

= −

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − − + ⎟⎠

=

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

Finalement : n^{lim 12}

(

¹

(

n ¹

)

²

(

n ²

)

^...

(

n ¹

)

¹

)

₈

n

π

→+∞ × − + × − + + − × = .

Résultat final

( ) ( ) ( )

( )

2

lim 1 1 1 2 2 ... 1 1

8

n n n n

n

π

→+∞ × − + × − + + − × =