PanaMaths Juin 2007

(1)

PanaMaths Juin 2007

Calculer, pour les entiers naturels n et m tels que 0 ≤ ≤ m n , le déterminant :

0 1

1 1 1

0 1

m

n n n

m

n n n

m

n m n m n m

C C C

+ + +

…

Analyse

Nous avons affaire au calcul d’un déterminant d’ordre m+1. On peut, pour n fixé calculer quelques-uns des déterminants correspondant aux premières valeurs de m pour se faire une idée du résultat …

Résolution

Notons ^{d m n}

(

^,

)

le déterminant à calculer.

Soit alors n un entier naturel. On a :

( )

^0, n⁰ n⁰ ¹

d n = C =C =

Si n est non nul on a ensuite :

( )

₀⁰ ₁¹

1 1

1, 1 1 1

1 1

n n

C C n

d n n n

C ₊ C ₊ n

= = = + − =

+

(2)

PanaMaths Juin 2007

Si n est strictement supérieur à 1, on a :

( )

( )( )

0 1 2 2

1 1 1

0 1 2 2

2 2 2

2 2

2

1 1

2 1

1 1

2, 1 1 1 1

2 2

1 2 3 2

1 2

2

1 1

1 1 1

1 1 0 1 2 1

1 1

2 2

0 1 2 2 0 1 2 2

n n n

n n n

C C C n n n

d n C C C n n n n n n

C C C n n n

n n

n

n n n n n n

n n n n n

n n n

+ + +

− + −

= = + = + +

+ + +

+ +

+

− −

= + + = = =

+ + +

Soit alors n un entier naturel non nul.

Montrons, pour tout entier naturel m inférieur ou égal à n, que l’on a : ^{d m n}

(

^,

)

⁼¹

D’après les calculs menés précédemment, la propriété est vraie pour m=0 et m=1. Supposons que n soit strictement supérieur à 1 et supposons que l’on ait ^{d m n}

(

^,

)

⁼¹^avec

m<n.

Intéressons-nous alors à ^{d m}

(

⁺^1,ⁿ

)

^.

( )

0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1,

1 1

m m m m

n n n n n n n

m m m m

n n n n n n n

m m m m

n m n m n m n m n m n m n m

m m m m

n m n m n m n m n m n m n m

C C C C C C C

d m n

C C C C C C C

+ +

+ + + + + + +

+ +

+ + + + + + +

+ +

+ + + + + + + + + + + + + +

+ = =

… …

On soustrait l’avant-dernière ligne à la dernière et on tient compte de la relation fondamentale

1 1

1

p p p

n n n

C ₊⁺ =C +C ⁺ :

( )

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1

1 1

1,

1 1

1 0

1

m m m m

n n n n n n

m m m m

n n n n n n

m m m m

n m n m n m n m n m n m

m m m m m m

n m n m n m n m n m n m n m n m n m

m

n n

C C C C C C

d m n

C C C C C C

C C C C C C C C C

C C C

+ +

+ + + + + +

+ +

+ + + + + +

+ + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

+ = =

− − −

=

… …

… ¹

1 1

1 1 1

1 1

0 1

1 1 0

m n

m m

n n n

m m

n m n m n m

m m

n m n m n m

C C C

+ +

+ + +

+ + ++

−

+ + +

…

(3)

PanaMaths Juin 2007

On poursuit de façon analogue en « remontant » :

( )

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

0 1

1 1 1

0 1

1

1 1 1 1

1, 1

1 0

0 0

1

m m

n n n

m m

n n n m m

n n n

m m

n n n

m m

n m n m n m

m m

n m n m n m m m

n m n m n m

m m

n m n m n m m m

n m n m n m

m

n n n

C C C

d m n

C C C

+ +

+

+ + +

+

+ + +

+

+ − + − + −

+

+ + + −

+ − + − + −

−

+ + + −

+ + +

+ = =

=

… …

…

… ¹ ¹ ¹

1 1 0 1

1 1 1

0 1 0 1

2 2 2 2 2 2

0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

0 1 0 1

1

1 0

0 0

m m m

n n n

m m m m

n n n n n n

m m m m

n m n m n m n m n m n m

m m m m

n m n m n m n m n m n m

m m m m

n m n m n m n m n m n m

C C C

C C C C C C

+ +

+ −

+ + +

− −

+ − + − + − + − + − + −

− −

+ − + − + − + − + − + −

− −

+ + + + + +

= =

=

…

… …

… … …

… …

( )

0 1 1

1 1 1 1

0 1 1

1 1 1 1

0 1 1

,

m m

n n n n

m m

n n n n

m m

n m n m n m n m

m m

n m n m n m n m

C C C C

d m n

C C C C

−

+ + + +

−

+ − + − + − + −

−

+ + + +

=

…

La propriété est ainsi établie au rang m+1.

Elle est donc vraie pour tout entier naturel inférieur ou égal à n.

Résultat final

Pour les entiers naturels n et m tels que 0≤ ≤m n :

0 1

1 1 1

0 1

1

m

n n n

m

n n n

m

n m n m n m

C C C

+ + +

=

…