PanaMaths Juillet 2007
Calculer le déterminant (n entier naturel non nul) :
1 2 3 4
1 1 2 3 1
1 1 1 2 2
1 1 1 1 3
1 1 1 1 1
n
n n d n
n
−
= −
−
…
…
…
…
…
Analyse
La dernière ligne permet une simplification rapide du calcul …
Résolution
En soustrayant la dernière ligne à toutes les autres, on obtient immédiatement :
1 1
2 2
3 3
1 2 3 0 1 2 1
1 1 2 1 0 0 1 2
1 1 1 2 0 0 0 3
1 1 1 1 1 1 1 1
n n
n n
n n
L L L
n n
L L L
n n
d n L n L L
L L
− −
−
− −
= − = − −
… …
… …
… …
… …
On développe alors suivant la première colonne et il vient :
( )
10 1 2 1 1 2 3 1
0 0 1 2 0 1 2 2
1
0 0 0 3 0 0 1 3
1 1 1 1 0 0 0 1
n n
n n
n n
d n + n
− −
− −
= − = − −
… …
… …
… …
… …
On est ainsi ramené au calcul du déterminant d’une matrice triangulaire supérieure dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1. Ce déterminant vaut 1 (produit des éléments diagonaux).
PanaMaths Juillet 2007
Finalement :
( )
1*, 1n n
n d +
∀ ∈ = −
Résultat final
( )
1*, 1n n
n d +
∀ ∈ = −
