PanaMaths Juillet 2013
Déterminer :
( )
2 2ln 1
x x
dx x
×
∫ +
Analyse
La fonction à intégrer comporte une « partie » rationnelle aisée à intégrer. Quant au logarithme népérien, il se dérive selon une fonction rationnelle. On doit ainsi « assez naturellement » penser à mener une intégration par parties.
Résolution
Du fait du facteur ln x, on travaille sur tout intervalle I privé de 0.
Sur un tel intervalle, on pose :
• u x
( )
=ln x qui est dérivable de dérivée u x'( )
1= x continue sur I.
•
( )
(
2)
2(
2)
2' 1
1
v x x x x
x
= = + −
+ qui admet pour primitive sur I :
( ) (
2)
1 21 1 1
2 1 2 1
v x x
x
= − + − = −
+ . L’intégration par parties donne alors :
( )
( )
2 2 2
2
2 2
ln 1 1 1 1 1
2 1 ln 2 1
1
1 ln 1 1
2 1 2 1
x x
dx x dx
x x x
x
x dx
x x x
×+ = − + × − ⎛⎜⎝− + ⎞⎟⎠×
= − +
+ +
∫ ∫
∫
On a :
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2
1 1
1 1 2 1
x dx d x dx
x x = x x = x x
+ + +
∫ ∫ ∫
et on est ainsi conduit à effectuer lechangement de variable u=x2 qui est bien bijectif puisque sur tout intervalle I ne contenant pas 0, x garde un signe constant (on aura donc x= ± u suivant que x est strictement positif (
I⊂\*+) ou strictement négatif (I⊂\*−)).
PanaMaths Juillet 2013
On a donc :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) )
2
2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 1 2 1
1 1
1 1
ln ln 1 ln ln 1
2 2
1ln
2 1
d x du
dx du
u u u u
x x x x
u u C x x C
x C
x
⎛ ⎞
= = + = ⎜ − + ⎟
+ + ⎝ ⎠
= − + + = − + +
= +
+
∫ ∫ ∫ ∫
où C est une constante réelle quelconque.
Finalement :
( ) ( )
( )
2 2 2
2
2
2 2
2 2 2
ln 1 ln 1 1
2 1 2 1
1
1 ln 1 1
2 1 2 2ln1
ln 1
4ln1 2 1
x x x
dx dx
x x x
x
x x
x x C
x x
x C x
× = − +
+ +
+
= − + × +
+ +
= − + +
+ +
∫ ∫
où C est une constante réelle quelconque.
Résultat final
( ) ( )
2
2 2 2
2
ln ln 1
4ln1 1 2 1
x x x x
dx C
x x x
× = − + +
+ +
∫
+où C est une constante réelle quelconque.
