PanaMaths Janvier 2007

PanaMaths Janvier 2007

Développer en série entière la fonction f définie par :

( ) ( ) ^{1 1} ( ) ¹

³

f z

z z

= − −

Analyse

Le dénominateur se factorise aisément sur ^. On obtient facilement les modules des pôles et, de fait, le rayon de convergence de la série entière …

Résolution

Il vient facilement :

( )( ) ( )

3 2

1−z = −1 z 1− jz 1− j z Où 1, j et j² désigne les racines cubiques de l’unité.

On note ainsi que les modules des pôles de f sont égaux à 1. Le rayon de convergence de la série entière vaut donc 1.

D’après ce qui précède, on a :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3

2 2

2 2

1

1 1

1

1 1 1

1 1 1 1

f z z z

z jz j z

A B C D

z z jz j z

= − −

= − − −

= + + +

− − − −

On obtient les réels A, B et C par des méthodes classiques :

( ) ( )

( ) ( ) ^{( ) ( )}

2 2

2 2

2

1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

C D

z f z B z A z

z z jz j z

jz j z

⎡ ⎤

− × = − − = + + = + − × + − ×⎢⎣ − + − ⎥⎦

Pour z=1, on obtient alors :

2

1 1

1 1 1 3

B= =

+ +

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En procédant de façon analogue :

( ) ( )

( )

²¹

(

²

) ^{( ) ( )}

^{2 2}

1 1

1 1

1 1 1

A B D

jz f z C jz

z j z

z j z z

⎡ ⎤

− × = = + − ×⎢ + + ⎥

− −

− − ⎢⎣ − ⎥⎦

Pour z= j², on obtient alors :

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 4 4

2 2 2

2 2

1 1

1 2 1

1 1

1 1 1

3 1 3 1 9

C

j j j

j j j

j

j j j

= =

− + −

− − ×

= = = −

− − −

On a également :

(

²

) ^{( )} _{( ) (}

2

₎ (

²

) _{( )}

2

1 1 1

1 1

1 1 1

A B C

j z f z D j z

z jz

z jz z

⎡ ⎤

− × = = + − ×⎢ + + ⎥

− −

− − ⎢⎣ − ⎥⎦

Pour z= j, on obtient alors :

( ) ( ) ( )( )

( ) ^{( )}

2 2 2

2 2

1 1

1 2 1

1 1

1 1 1

3 1 9

3 1 D

j j j

j j j

j j j j

= =

− + −

− − ×

= = = −

− − −

Enfin, on peut facilement tenir compte de : ^f

( )

^{0 =1} et, à partir de la décomposition en éléments simples : ^f

( )

^{0 = + + +A B C D.}

On a donc :

2

2

1

1 1 1

1 3 9 9

9 3 1 1

9 6 2 1

9 1 3

A B C D

j j

j j

= − − −

− −

= − − −

− − + − +

=

= − −

=

Finalement :

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2

2 2

1 2 1 2 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

3 1 3 1 9 1 9 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

3 3 9 9

j j

f z z z jz j z

z ⁻ z ⁻ j jz ⁻ j j z ⁻

− −

= + + +

− − − −

= − + − + − − + − −

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On considère alors les développements classiques :

( )

¹

0

1 ⁿ

n

z z

− +∞

=

− =

∑

( )

²

( ( )

¹

)

^{' 1}

^{( )}

1 0

1 1 ⁿ 1 ⁿ

n n

z z nz n z

+∞ +∞

− − −

= =

− = − =

∑

=

∑

+

( )

¹

0

1 ^{n n}

n

jz j z

− +∞

=

− =

∑

(

²

)

^{1 2}

0

1 ^{n n}

n

j z j z

− +∞

=

− =

∑

Il vient :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

1 2 1 2 2 1

2 2

0 0 0 0

2 2

0

2 0

2

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

3 3 9 9

1 1 1 1

1 1 1

3 3 9 9

1 3 3 1 1 1

9

1 3 6 1 1

9

1 1

2 1 1

3 3

n n n n n n

n n n n

n n n

n

n n n

n

n n n

n

f z z z j jz j j z

z n z j j z j j z

n j j j j z

n j j j j z

n j j j j z

− − − −

+∞ +∞ +∞ +∞

= = = =

+∞

= +∞

=

= − + − + − − + − −

= + + + − + −

⎡ ⎤

= ⎣ + + + − + − ⎦

⎡ ⎤

= ⎣ + + − + − ⎦

⎡ ⎤

= ⎢⎣ + + − + − ⎥⎦

∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑

0 +∞

∑

=

On tient compte alors de la congruence de n modulo 3 :

• Si ^{n≡0 3}

[ ]

^{, on a jn =1 et jn}

(

^{1− +j jn}

(

^{1− j2}

) )

^{= − + −1 j 1 j2=3.}

• Si ^{n≡1 3}

[ ]

^{, on a jn = j et jn}

(

^{1− +j jn}

(

^{1− j2}

) )

^{= j}

(

^{1− +j j}

(

^{1− j2}

) )

^{= × =j 0 0.}

• Si ^{n≡2 3}

[ ]

^{, on a jn= j2 et}

( )

( ) ( ^{( )} ) ^{( )}

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 3 3

j − +j j − j = j − +j j − j = j × − j = − . On a alors :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 3 1 3 2

0

3 3 1 3 2

0

1 1 1

1

k k k

n

k k k

k

f z k z k z k z

k z z z

+∞ + +

=

+∞ + +

=

⎡ ⎤

= ⎣ + + + + + ⎦

⎡ ⎤

= + ⎣ + + ⎦

∑

∑

Remarque : en tenant compte du fait que

3

k= ⎜ ⎟E⎛ ⎞⎝ ⎠n , on peut finalement écrire :

( )

0

3 1

n n

f z E n z

+∞

=

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

=

∑

⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎟⎠

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Résultat final

La fonction f définie sur ^{^\ 1; ;}

{

^{j j2}

}

^{par :}

( ) (

¹

)

¹

(

^{1 3}

)

f z

z z

= − −

est développable en série entière sur le disque ouvert de centre O et de rayon 1 et on a :

( ) ( )

^{3 3 1 3 2}

0 0

/ 1, 1 1

3

n k k k

n k

z z f z E n z k z z z

+∞ +∞

+ +

= =

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎡ ⎤

∀ < =

∑

⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎟⎠ =

∑

+ ⎣ + + ⎦