PanaMaths Juillet 2007
Calculer le déterminant d’ordre n (n supérieur ou égal à 2) :
( )
1 0 0
0 1 0 0 1
0
0 0 0 1
1 1 1 1 1
n
x x d x x
x
=
… …
…
…
Analyse
Un développement direct suivant la première colonne permet d’obtenir rapidement une formule de récurrence et … le résultat !
Résolution
( ) ( )
1Déterminant d'une matrice triangulaire inférieure d'ordre 1 dont tous les éléments diagonaux
sont égaux à
1 0 0
1 0 0 0 0
0 1
0 1 1
0 0 1
0 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 1
1 1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
n n
n
x x x
x x x
d x x
x x
x x
+
−
= = + −
… … … … …
… …
… …
…
( ) ( ) ( ) ( )
.
1 1 1
1 1 1
x
n n n
n n
d − x + x − d − x x −
= + − = + −
En tenant compte de 2
( )
1 1
1 1
d x = x = −x on obtient immédiatement pour n≥2 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3 1 1 1
1 1 1
n n
n n
x x
d x x x x x
x x
− − − − −
= − + − + − + + − = =
− − +
…
PanaMaths Juillet 2007
Résultat final
( ) ( )
1 0 0
0 1
0 0 1 1
0 1
0 0 0 1
1 1 1 1 1
n
n
x x
x x
d x
x x
= = − −
+
… …
…
…
