PanaMaths Août 2007
Calculer le déterminant d’ordre n :
( )
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
x d x x
x
− − −
− − −
=
− − −
…
…
…
Analyse
Une expression vectorielle du déterminant proposé en permet le calcul « rapide » !
Résolution
Introduisons le vecteur à n composantes suivant : 1 1
1 u
⎛ ⎞⎜ ⎟
=⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Supposons que l’espace vectoriel de dimension n dans lequel nous travaillons soit rapporté à la base
(
e e1, 2,…,en)
. Dans ces conditions, il vient :( )
det(
1 , 2 , ,)
n n
d x = xe −u xe −u … xe −u
PanaMaths Août 2007
En utilisant la multilinéarité, on obtient alors :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 1 2
2
1 3
1 2 1
1 2
1 2
1 2 3
1 2 1
det , , , det , , ,
det , , ,
det , , , ,
det , , , ,
det , , ,
det , , ,
det , , , ,
det , , ,
n n
n
n
n n
n
n
n
n
xe u xe u xe u xe xe xe
u xe xe xe u xe xe
xe xe xe u
x e e e
e xe xe xe e xe xe
xe xe xe
−
−
− − − =
−
−
−
=
−
−
−
… …
…
…
…
…
…
…
…
…
(
…)
(
1 2)
1(
1 2)
déterminants égaux
,
det , , , det , , ,
n
n n
n n
n
e
x e e e nx − e e e
⎫⎪
⎪⎬
⎪⎪
⎭
= … − …
Finalement, en tenant compte de det
(
e e1, 2,…,en)
=1, il vient :( )
( )
1
1 2
1
det , , , n n n
n
xe u xe u xe u x nx
x x n
−
−
− − − = −
= −
…
Résultat final
( )
1( )
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n n
x
d x x x x n
x
−
− − −
− − −
= = −
− − −
…
…
…
