PanaMaths Août 2014

PanaMaths Août 2014

Pour tout x dans 0 ; 2

^⎡_⎣

π

^⎤_⎦

, simplifier :

( ) ¹ ( )

arccos cos arccos cos 2 x 2

^⎛_⎜

x

^⎞_⎟

⎝ ⎠

−

Analyse

Rappelons que la fonction arccos est définie sur l’intervalle

[

^{−1 ; 1}

]

et bijective de

[

^{−1 ; 1}

]

dans

[

^{0 ;π}

]

. On a ainsi : ^{arccos cos}

(

^x

)

^{= ⇔ ∈x x}

[

^{0 ;π}

]

^.

Résolution

On a : ^{arccos cos}

(

^x

)

^{= ⇔ ∈x x}

[

^{0 ;π}

]

^.

Pour ^x∈

[

^{π π; 2}

]

^{, on a : cos 2}

(

^π−x

)

^=cos

( )

^{− =x cosx et 2π − ∈x}

[

^{0 ;π}

]

^.

Donc : ^x∈

[

^{π π; 2}

]

^{⇒arccos cos}

(

^x

)

^{=2π −x.}

Pour arccos cos 2x

( ( ) )

, nous allons devoir distinguer 4 cas du fait du facteur 2 dans l’argument du cosinus :

• Si 0 ; x _⎡ π2_⎤

∈ ⎢⎣ ⎥⎦

Dans ce cas, on a : ^2x∈

[

^{0 ;π}

]

^{, d’où :} arccos cos 2

( ( )

x

)

=2x.

• Si ; x_{∈ ⎢}^⎡π π2 ^⎤_⎥

⎣ ⎦

Dans ce cas, ^2x∈

[

^{π π; 2}

]

^{, d’où :} arccos cos 2

( ( )

x

)

=2π−2x.

• Si 3

; 2 x_{∈ ⎢}^⎡π π^⎤_⎥

⎣ ⎦

Dans ce cas, ^2x∈

[

^{2 ; 3π π}

]

^{et cos 2}

( )

^x =^{cos 2}

(

^x−^2π

)

avec ^2x−2π∈

[

^{0 ;π}

]

^.

D’où : arccos cos 2

( ( )

x

)

=arccos cos 2

( ⁽

x−2π

⁾ )

=2x−2π .

• Si 3 2 ; 2 x_{∈ ⎢}^⎡ π π^⎤_⎥

⎣ ⎦

Dans ce cas, ^2x∈

[

^{3 ; 4π π}

]

^{et cos 4}

(

π −^2x

)

=^cos

(

−^2x

)

=^{cos 2}

( )

^x avec

[ ]

4π −2x∈ 0 ;π . D’où : arccos cos 2

( ( )

x

)

=arccos cos 4

( (

π −2x

) )

=4π −2x.

PanaMaths Août 2014

Finalement :

• Si 0 ; x ⎡ π2⎤

∈ ⎢⎣ ⎥⎦

( )

¹

( ( ) )

¹

arccos cos arccos cos 2 2 0

2 2

x − x = − ×x x= .

• Si ; x_{∈ ⎢}^⎡π π2 ^⎤_⎥

⎣ ⎦

( )

¹

( ( ) )

¹

( )

arccos cos arccos cos 2 2 2 2

2 2

x − x = − ×x π − x = x−π .

• Si 3

; 2 x_{∈ ⎢}^⎡π π^⎤_⎥

⎣ ⎦

( )

¹

( ( ) )

¹

^{( )}

arccos cos arccos cos 2 2 2 2 3 2

2 2

x − x = π− − ×x x− π = π− x.

• Si 3 2 ; 2 x_{∈ ⎢}^⎡ π π^⎤_⎥

⎣ ⎦

( )

¹

( ( ) )

¹

^{( )}

arccos cos arccos cos 2 2 4 2 0

2 2

x − x = π− − ×x π − x = .

Résultat final

( )

¹

( ( ) )

arccos cos arccos cos 2

x −2 x est égal à :

0 si 0 ; x ⎡ π2⎤

∈ ⎢⎣ ⎥⎦ 2x−π si ;

x_{∈ ⎢}^⎡π π2 ^⎤_⎥

⎣ ⎦

3π−2x si 3

; 2 x_{∈ ⎢}^⎡π π^⎤_⎥

⎣ ⎦

0 si 3 2 ; 2 x_{∈ ⎢}^⎡ π π^⎤_⎥

⎣ ⎦