PanaMaths
[1 - 1]Août 2014
Soit n un entier naturel non nul.
Calculer les sommes :
0 2
1 2 1
0 2 4 ... 2
1 3 5 ... 2 1
k n
k n
n n n n
P k
n n n n
I k
≤ ≤
≤ + ≤
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + + + =
= + + + = +
∑
∑
Analyse
On doit penser à la somme
0 n
k
P I n
= k + = ⎛ ⎞⎜ ⎟
∑
⎝ ⎠ et connaître sa valeur : 2n. Une des façons les plus simples d’obtenir ce résultat consiste à choisir a= =b 1 dans la formule du binôme de Newton :( )
0
n n k n k
k
a b n a b
k
−
=
+ = ⎛ ⎞⎜ ⎟
∑
⎝ ⎠ . Cette démarche donne une piste pour obtenir une autre relation simple entre P et I …Résolution
Avec a= −1 et b=1, on obtient :
( ( ) ) ( ) ( )
0 0
1 1 0 1 1 1
n n
n k n k k
k k
n n
k k
−
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + = = ⎜ ⎟ − × = ⎜ ⎟ −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑
, soit :( )
0 0 2 0 2 1
0 1 ...
0 1 2 3 2 2 1
n k
k k n k n
n n n n n n n
P I
k k k
= ≤ ≤ ≤ + ≤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=
∑
⎜ ⎟⎝ ⎠ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− + − + =∑
⎜⎝ ⎟⎠−∑
⎜⎝ + ⎟⎠= −On dispose donc des deux relations : P+ =I 2n et P− =I 0. On obtient alors immédiatement : P− =I 2n−1.
Résultat final
1
0 2 0 2 1
*, 2
2 2 1
n
k n k n
n n
n k k
−
≤ ≤ ≤ + ≤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∀ ∈`
