PanaMaths Août 2014
Soit y un réel de l’intervalle ; 2 2 π π
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦
−
⎣. On pose : ln tan
2 4
x
⎛⎜ ⎛y π
⎞⎞⎟⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
= + .
Etablir les égalités :
tanh tan
2 2
y
x
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎝ ⎠sinh ( ) x = tan ( ) y cosh ( ) x = cos 1 ( ) y
Analyse
Un exercice d’application du cours où on doit éviter de se perdre dans des calculs trop fastidieux mais qui permet de revoir, en particulier, quelques formules de trigonométrie circulaire.
Résolution
Notons d’abord que l’on a : 0
2 2 4 2 4 2 4 2
y y
π y π π π π π
− < < ⇔ − < < ⇔ < + < ,
Ainsi, le réel x est bien défini.
Pour tout réel t, on a :
( ) ( ) ( )
2 2
sinh 2 1
tanh cosh 1
2
t t
t t t
t t t t t
e e
t e e e
t t e e e e e
−
−
− −
− − −
= = = =
+ + + .
D’où : 1
tanh 2 1
x x
x e
e
⎛ ⎞ = −
⎜ ⎟ +
⎝ ⎠ .
Comme ln tan
2 4
x= ⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝ y+π ⎞⎟⎠⎞⎟⎠, il vient immédiatement :
tan tan 1 tan
2 4 2
tan 2 4
1 tan tan 1 tan
2 4 2
x
y y
e y
y y
π π
π
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⎜⎝ + ⎟⎠= − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠× ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
PanaMaths Août 2014
Alors :
1 tan
2 1
1 tan 1 tan 1 tan 2 tan
1 2 2 2 2
tanh 2 1 2
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
1 1 tan
2 tan 2
x x
y
y y y y
x e
y y y
e
y y
+ ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞= − = ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠
⎜ ⎟ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ ⎠ + ⎜ ⎟⎝ ⎠+ + ⎜ ⎟⎝ ⎠+ − ⎜ ⎟⎝ ⎠
− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Le résultat est ainsi établi.
On a ensuite :
( ) ( )
2 2
2
1 1 1
sinh tan
2 2 2 4
tan 2 4
1 tan 1 tan
1 tan 1 tan
2 2
1 2 2 1
2 2
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
1 tan 2 1
2
x x y
x e e
y
y y
y y
y y y
y
π
π
−
⎛ ⎞
⎜ ⎛ ⎞ ⎟
⎜ ⎟
= − = ⎜⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠− ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠⎟⎟⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎛ + ⎛ ⎞⎜ ⎟ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞ ⎢ + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎥ − −⎢ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎥
⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦
⎜ ⎟
= − = ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
+ ⎛⎜⎝
= ×
2 2
2 2 2
2
1 tan 1 tan 1 tan 2 2 tan
2 2 2 1 2
1 tan 2 1 tan
2 2
2 tan 2 tan 2 tan
2 2 2
1 tan cos sin cos 2
2 2 2 2
cos 2
y y y y
y y
y y y
y y y y
y
⎡ ⎞⎟+ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎤ ⎡× + ⎛ ⎞⎜ ⎟− + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎤ × ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎢ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦= × ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ×
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
sin cos
2 2
2 cos
cos 2 cos 2
2 sin cos
2 2 sin
cos cos
tan
y y
y y
y
y y
y
y y
y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= × ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× ⎜ ⎟⎝ ⎠× ⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
=
Le résultat est ainsi établi.
PanaMaths Août 2014
Enfin :
( ) ( )
2 2
2
1 1 1
cosh tan
2 2 2 4
tan 2 4
1 tan 1 tan
1 tan 1 tan
2 2
1 2 2 1
2 2
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
1 2 tan
1 2
2
x x y
x e e
y
y y
y y
y y y
y
π
− π
⎛ ⎞
⎜ ⎛ ⎞ ⎟
⎜ ⎟
= + = ⎜⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠⎟⎟⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎛ + ⎛ ⎞⎜ ⎟ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞ ⎢ + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎥ + −⎢ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎥
⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦
⎜ ⎟
= + = ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎟ − ⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
+ ⎛
= × ⎝
( )
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
2 1 tan
tan 1 2 tan tan
2
2 2 2 1
1 tan 2 1 tan
2 2
1
cos 2 1 1
cos sin cos sin cos 2
2 2 2 2 2
cos 2 1
cos
y y y y
y y
y
y y y y y
y
y
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎞+ ⎛ ⎞+ − ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ = × ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟
= ⎝ ⎠ = =
⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ⎛ × ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
A partir des deux derniers résultats, il vient :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
sin
sinh tan cos
tanh sin
1 1
cosh
cos cos
y
x y y
x y
x
y y
= = = =
Résultat final
Pour tout y dans ; 2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣, en posant ln tan
2 4
x= ⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝y+π ⎞⎟⎠⎞⎟⎠, il vient :
tanh tan
2 2
x y
⎛ ⎞= ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠, sinh
