PanaMaths Novembre 2014

PanaMaths Novembre 2014

Soit A dans ^M

ⁿ

( ) ^\ définie par ( ) ^{, 1,}

²

^,

ij

i j n a i

∀ ∈

^cde ^fgh

= j . A est-elle diagonalisable ?

Analyse

Exercice où il faut typiquement observer la matrice considérée (écrivez-la !!!) avec attention !

Résolution

Pour y voir (peut-être ?) un peu plus clair, représentons la matrice A :

1 1 1 1

1 2 3

2 2 2 2

1 2 3

3 3 3 3

1 2 3

1 2 3

n n A

n

n n n n

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

"

"

"

# # # % #

"

Soit ϕ l’endomorphisme de \ⁿ canoniquement associé à A.

Notons =

(

e eG G1, 2, ...,eG_n

)

B

la base canonique de \ⁿ et _{1 2}

1

2 ...

n

n i

i

u e e n e i e

=

= + + + =

∑

G G G G G

. On a immédiatement, d’après les colonnes de A : ϕ

( )

eG1 =uG

,

( )

2

1 e 2u ϕ G = G

, …,

( )

en ¹u ϕ G = nG

. (on peut formellement obtenir ce résultat en considérant directement la j-ième colonne de A correspondant aux coordonnées de ϕ

( )

e^Gj dans

B

^:

( )

1 1 1

1 1

n n n

j ij i i i

i i i

e a e i e ie u

j j j

ϕ

= = =

=

∑

=

∑

=

∑

=

G G G G G

) On déduit de ce qui précède que l’on a : ^Imϕ=Vect

{ }

^{uG , d’où rgϕ =1.}

On a par ailleurs :

( ) ( )

1 1 1 1

n n n 1 n

i i

i i i i

u ie i e i u u n u

ϕ ϕ ϕ i

= = = =

⎛ ⎞

= ⎜⎝

∑

⎟⎠=

∑

=

∑

× =

∑

=

G G G G G G

. On en déduit ainsi que n est valeur propre de A de vecteur propre associé uG

.

PanaMaths Novembre 2014

Tout vecteur ayant pour image un vecteur colinéaire à uG

, les vecteurs propres associés à la valeur propre n sont donc les vecteurs eux-mêmes colinéaires à uG

, c'est-à-dire les éléments de Imϕ qui est donc le sous-espace propre E_n associé à n. dimE_n=rgϕ=1.

D’après le théorème du rang, on a alors : dim kerϕ =dimE−rgϕ =dim\ⁿ−rgϕ = −n 1. On en déduit que ϕ admet 0 pour deuxième valeur propre et que le sous-espace propre associé, E₀=kerϕ, vérifie : dimE₀ =dim kerϕ = −n 1, c’est un hyperplan et on en obtient facilement l’équation suivante : ₁ 1 ₂ 1 ₃ 1

... 0

2 3 ⁿ

x x x x

+ + + +n = .

Ainsi, la matrice A, admet deux valeurs propres, n et 0, dont les dimensions des sous-espaces propres associés valent respectivement 1 et n−1, leur somme étant égale à la dimension de

\n. On en conclut immédiatement que A est diagonalisable.

Résultat final

La matrice

( )

¹

1 1

1 ij i n

j n i n

j n

A a i

≤ ≤ j

≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤

= = ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠ de

M

n

( )

\ est diagonalisable.