PanaMaths Novembre 2008

PanaMaths Novembre 2008

On considère la fonction f définie sur ^{\ −} { } ^{3 par :}

( ) ( )

( )

2 17

3

x x

f x

x

= − +

−

1. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout réel x de ^{\ −} { } ³

on ait :

( ) ( ) ( ) ( ) ^{a 3}

^{b 3}

^{c 3}

f x

x x x

= + +

− − −

2. Déduire de la question précédente les primitives de f sur l’intervalle 3;

+∞

.

Analyse

La première question permet de transformer la fonction f en effectuant une « décomposition en éléments simples » à savoir les fonctions

(

)

x a

x− 6 ,

(

)

x b

x− 6 et

(

)

x c

x−

6 . Ces

trois fonctions sont aisées à intégrer sur l’intervalle considéré.

Résolution

Question 1.

On a, pour tout réel x réel différent de 3 :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2

2 3 4 4

2

4

2

4

3 3

3 3 3 3

6 9 3

3

6 9 3

3

a x b x c

a b c

x x x x

ax ax a bx b c x

ax a b x a b c

x

− + − +

+ + =

− − − −

− + + − +

= −

+ − + + − +

= −

PanaMaths Novembre 2008

Il vient alors :

{ } ( )

( ) ( ) ( )

{ } ( ) ( )

( )

{ } ( )

( )

( )

( )

{ } ( )

2 3 4

2

4

2

4 4

2 2

3 ,

3 3 3

6 9 3

3 ,

3

2 17 6 9 3

3 ,

3 3

3 , 2 17 6 9 3

a b c

x f x

x x x

ax a b x a b c

x f x

x

x x ax a b x a b c

x

x x

x x x ax a b x a b c

∀ ∈ − = + + ⇔

− − −

+ − + + − +

∀ ∈ − = ⇔

−

− + + − + + − +

∀ ∈ − = ⇔

− −

∀ ∈ − − + = + − + + − +

\

\

\

\ Soit, par identification :

2

6 17

9 3 0

a a b a b c

⎧ = −

⎪ − + =

⎨⎪ − + =

⎩ On obtient facilement :

2 2 2 2 2

6 17 17 6 17 12 5 5

9 3 0 9 3 18 3 18 15 33

a a a a a

a b b a b b b

a b c c a b c b c c

= − = − = − = − = −

⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧

⎪ − + = ⇔⎪ = + ⇔⎪ = − ⇔⎪ = ⇔⎪ =

⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨

⎪ − + = ⎪ = − + ⎪ = + ⎪ = + ⎪ =

⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩

Finalement :

{ } ( )

( ) (

) (

)

2 5 33

3 ,

3 3 3

x f x

x x x

∀ ∈ − = − + +

− − −

\

Question 2.

Dans cette question, nous travaillons sur l’intervalle

]

[

{ } ( )

(

) (

) (

)

( )

( )

( )

3 , 2 3 5 3 33 3

3 3 3

x f x x x x

x x x

− − −

∀ ∈ − = − + + = − − + − + −

− − −

\

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On peut alors déterminer les primitives de f sur l’intervalle considéré. Si nous notons F l’une d’elles, nous avons pour tout x de

]

[

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2 1 3 1 4 1

1 2 3

2 3

2 3

2

3

2

3

1 1 1

2 3 5 3 33 3

2 1 3 1 4 1

2 5 33

3 3 3

1 2 3

2 5 1 11

3 2 3 3

4 3 5 3 22

2 3

4 24 36 5 15 22

2 3

4 29 29

2 3

F x x x x C

x x x C

x x x C

x x

C x

x x x

C x

x x

C x

− + − + − +

− − −

= − × − + × − + × − +

− + − + − +

=− − + − + − +

− − −

= − − +

− − −

− − − −

= +

−

− + − + −

= +

−

− +

= +

−

où C est une constante réelle quelconque.

Résultat final

La fonction

( )

( )

( ) (

) (

)

2 17 2 5 33

:

3 3 3 3

x x

f x

x x x x

− + = − + +

− − − −

6 admet pour primitives sur

]

[

( )

2

3

4 29 29

2 3

x x

x C

x

− + +

6 −

où C est une constante réelle quelconque.