PanaMaths Octobre 2008

PanaMaths Octobre 2008

Calculer, pour tout entier naturel n, la dérivée nième de 1 x 1

− x 6 .

Analyse

Le calcul des premières dérivées permet d’effectuer une conjecture que l’on démontre facilement par récurrence.

Résolution

En posant :

( )

(

)

f x 1 x

x

= = − −

− , on obtient rapidement :

( ) ( ) ( )

( )

' 1 1 1 1

f x = − × − × −x ^{− −} = −x ⁻

( ) ( ) ( )

( )

'' 2 1 1 2 1

f x = − × − × −x ^{− −} = −x ⁻

( )³

( )

( ) ( ) (

)

( )

f x = × − × − × −x ^{− −} = −x ⁻

Nous faisons alors la conjecture suivante :

( )

( ) ( )

, ! 1^{n n}

n f x n x ^{− +}

∀ ∈` = −

Posons : P_n : « ^{f( )n}

( )

(

)

Les propriétés P₀, P₁, P₂ et P₃ sont vraies (cf. la définition de la fonction f et les calculs ci-dessus).

Supposons que la propriété P_n soit vraie. On a donc : ^{f( )n}

( )

(

)

On en tire : ^f(n+1)

( )

( )

^{( )}

^{( (}

^{) )}

^{( ) (}

⁾

⁽

^{) (}

⁾

La propriété P_n+1 est donc vraie.

Finalement, pour tout entier naturel n, la propriété P_n est vraie.

On a bien : ^{( )}

( ) ( )

( )

1

1

, ! 1 !

1

n n

n

n f x n x n

x

− +

∀ ∈ = − = +

` − .

PanaMaths Octobre 2008

Résultat final

( )

( ) ( )

( )

1

1

, ! 1 !

1

n n

n

n f x n x n

x

− +

∀ ∈ = − = +

` −