PanaMaths Février 2013
Soit f la fonction définie sur \ par : f x ( ) = 2 x + 3 .
A quelle condition sur le réel a, la valeur moyenne de f sur l’intervalle 1; a
⎡ ⎤
⎣ ⎦
est-elle supérieure ou égale à 10 ?
Analyse
La résolution se fait en deux temps : on calcule d’abord la valeur moyenne μ de f sur
[ ]
1 ;apuis on résout l’inéquation correspondant à la contrainte imposée à μ dans l’énoncé.
Résolution
On a, pour tout réel a strictement supérieur à 1 :
( ) ( )
2 1(
2)
1 1
1 1 1 1
2 3 3 3 4
1 1 1 1
a a a
f x dx x dx x x a a
a a a a
μ= −
∫
= −∫
+ = − ⎡⎣ + ⎤⎦ = − + −Ici, on peut remarquer que la factorisation de a2+3a−4 fait apparaître le facteur a−1 (ce n’est en rien un hasard …) : a2+3a− =4
(
a−1)(
a+4)
.On a donc :
(
2) (
1)(
4)
1 3 4 4
1 1
a a
a a a
a a
μ= + − = − + = +
− −
Il vient ensuite :
10 a 4 10 a 6
μ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ .
Si l’on n’a pas factorisé a2+3a−4, on a (toujours avec a>1) :
(
2)
2( )
210 1 3 4 10 3 4 10 1 7 6 0
1 a a a a a a a
μ≥ ⇔a + − ≥ ⇔ + − ≥ − ⇔ − + ≥
−
On obtient facilement la factorisation a2−7a+ =6
(
a−1)(
a−6)
puis, en tenant compte de 1a> : a2−7a+ =6
(
a−1)(
a−6)
≥ ⇔ ≥0 a 6. On a ainsi retrouvé le résultat précédent.PanaMaths Février 2013
Résultat final
1
( )
1 10 6
1
a f x dx a
a ≥ ⇔ ≥
−
