PanaMaths Septembre 2013
Soit la suite ( ) u
ndéfinie par :
0 1
2
1 3
2
nn
u
u
+u
⎧⎪
⎨⎪
⎩
= −
= +
Montrer que pour tout n entier naturel, u
nest strictement inférieur à 6.
Analyse
Une récurrence très simple qui permet d’établir que la suite
( )
un est majorée (par 6).Résolution
Pour tout n entier naturel, on pose :
P
n : « un<6 » InitialisationPour n=0, on a : u0 = − <2 6. La propriété
P
0 est donc vraie.Hérédité
Soit N un entier naturel quelconque fixé.
On suppose
P
N vraie, c'est-à-dire : uN<6. On a donc : 1 16 3
2uN < × =2 puis 1
3 3 3 6
2uN+ < + = . On a bien : uN+1<6. Ainsi, la propriété
P
N+1 est vraie.Conclusion
La propriété
P
n est vraie pour tout entier naturel n.PanaMaths Septembre 2013
Résultat final
Pour tout entier naturel n : un <6.
Remarque : on aboutit à la même conclusion pour tout réel u0 strictement inférieur à 6.
