2x 6 et ( ) u n est la suite définie par

CONTROLE N°2 TS2.

Mercredi 4 novembre 2015.

2 heures.

I. f est la fonction définie sur \{ 3} par f( x) 6x 7

2x 6 et ( ) ^{u n} est la suite définie par

 

 u 0 1,5

u n 1 f ( ) ^{u n} pour tout n d e . Partie A. Etude de la fonction f.

1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition (4 limites).

2. Construire le tableau de variation de f, faire apparaître les limites de f dans le tableau.

3. Donner les asymptotes éventuelles à la courbe de f.

4. Etudier les positions relatives de la courbe de f et de son asymptote horizontale.

Pour la suite, on admet que la fonction f est croissante sur ] 3 [

Partie B. Etude de la suite ( ) ^{u n .}

1. A l aide de la calculatrice, donner des valeurs approchées au millième de u ₂₀ et u ₃₀ . 2. Montrer par récurrence que, pour tout n de , 1 u _n 2.

3. Montrer par récurrence que la suite ( ) ^u n est croissante.

II. Vrai ou Faux ? Justifier .

f est une fonction définie sur [1 [ telle que lim

x

f( x) et C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Il est possible que lim

x

f(x)

x 0.

2. Il est possible que C admette une asymptote horizontale.

3. Il est possible que lim

x

f(x)

x² 1 et lim

x

f( x) x² . III. Résoudre dans l équation 2 z iz 1 i.

IV. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ^{O u v} ) ^.

A,B ,C et D sont les points d affixes respectives z A 3 3i ; z B 1 i ; z C 3 2 i et z D 5 2i . A tout point M du plan, d affixe z ≠ 2i , l application f associe le point f (M ) M d affixe z′ 2iz 5

( z 2 i).

1. Quelle est la nature du quadrilatère ABC D ? Justifier.

2. Développer ( z 5 i )(z i ).

3. Résoudre l équation z z . Les points dont les affixes sont solutions sont les points invariants de f.

4. On considère l'ensemble des points M d'affixes z tel que z ai où a est un réel différent de 2.

Montrer que l'image d'un point de par f est un point de .

CORRECTION DU CONTROLE N°2 TS2.

I.

Partie A. Etude de la fonction f.

1. lim

x

f (x ) lim

x

6 x

2 x lim

x

3 3. De même lim

x

f( x) 3.

lim

x 3

6x 7 11

lim

x 3

2x 6 0 donc lim

x 3

f( x) lim

x 3

2x 6 0 donc li m

x 3

f (x )

2. f est dérivable sur \{ 3}. f (x ) 6(2 x 6) (6 x 7)2 (2x 6)²

22

(2x 6) ² > 0. On a donc le tableau de variations :

x 3 +

f (x ) +

f(x) +

3

3

3. Les droites D et d équations respectives x 3 et y 3 sont asymptotes à la courbe de f.

4. est l asymptote horizontale. On étudie le signe de f( x) 3.

f (x ) 3 6 x 7

2 x 6 3 6 x 7 6 x 18 2x 6

11 2x 6 . On peut alors construire le tableau suivant :

x 3 +

1 1 − −

2x 6 − +

f( x) 3 +

Positions relatives

La courbe de f est au- dessus de .

La courbe de f est en dessous de . Partie B. Etude de la suite ( ) ^{u n .}

1. On obtient u ₂₀ 1,871 et u ₃₀ 1,871.

2. Initialisation : pour n 0 0 : u 0 1,5 et 1 1,5 2 : la propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que 1 u p 2. Montrons que 1 u p 1 2 On a 1 u p 2

donc f(1) f ( ) ^{u p f} (2) car la fonction f est strictement croissante sur [1 2].

donc 1,625 u p 1 1,9. Or 1 1,625 et 1,9 2 donc 1 u p 1 2

Conclusion : pour tout n de , 1 u n 2.

3. On cherche à montrer par récurrence que pour tout n de , u n u n 1

Initialisation : pour n ₀ 0 : u ₀ 1,5 et u ₁ 16

9 et 1,5 16

9 : la propriété est vraie pour n ₀ 0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que u p u p 1 . Montrons que u p 1 u p 2

On a 1 u p u p 1 2

donc f ( ) ^{up f ( u p 1 )} car la fonction f est strictement croissante sur [1 2].

donc u _{p 1} u _{p 2}

Conclusion : pour tout n de , u _n u _{n 1} . La suite ( ) ^{u n} est donc croissante.

x 3 +

2 x 6 +

II. Vrai ou Faux ? Justifier.

1. Vrai : par exemple, si f est définie par f (x) x .

2. Faux : Si C admet une asymptote horizontale d équation y k, alors lim

x

f (x) k. Or lim

x

f (x ) .

Il est possible que C admette une asymptote horizontale.

3. Vrai : par exemple, si f est définie par f (x) x² x . III. On pose z x i y avec x et y des réels.

2 z iz 1 i 2(x i y) i (x iy ) 1 i

 

 2 x y 1

x 2y 1    x 1

y 1 z 1 i S {1 i}.

IV.

1. (z 5i )(z i ) z² 4iz 5.

2. AB a pour affixe z B z A 2 4 i et DC a pour affixe z z C z D 2 4 i.

AB DC donc ABCD est un parallélogramme.

3. M est invariant par f ssi M M .

z z 2iz 5

( z 2 i). z 2iz 5 z( z 2 i) et z ≠2i 2 iz 5 z ² 2 iz et z≠2i

z ²−4iz 5 0 et z ≠2i

( z−5i )(z+i )=0 et z≠2 i d après 1.

z =5i ou z i

f admet deux points invariants, qui sont les points d affixes 5 i et i.

4. On considère l'ensemble des points M d'affixes z tel que z ai où a est un réel différent de 2.

a. est l axe des ordonnées, privée du point de coordonnées (0 2).

b. Soit M un point de d affixe ai , avec a un réel différent de 2 et soit M l image de M par f.

M a pour affixe 2i (a i) 5 ai 2i

2a 5 i( a 2)

(2a 5)i a 2

2 a 5 a 2 i . L affixe de M est bien de la forme Ai avec A 2 a 5

a 2 un réel.

Vérifions que A≠2 : A 2 (2 a 5) 2( a 2) 5 −4 ce qui est faux donc A ≠2.

M est donc un point de .

GRILLE DES COMPETENCES.

CONTROLE N°2

SUITES, LIMITES ET COMPLEXES

Compétence Insuffisamment

acquise

Suffisamment acquise Déterminer les limites d une fraction rationnelle en

l infini

Déterminer les limites d une fraction rationnelle en un nombre

Etudier le sens de variation d une fonction rationnelle

Etudier les positions relatives de deux courbes Utiliser le mode suite de la calculatrice

Rédiger un raisonnement par récurrence

Utiliser le fait qu une fonction est croissante (dans les raisonnements par récurrence)

Traduire le fait qu une suite est croissante Calculer avec des nombres complexes Résoudre une équation dans

Lier complexes et géométrie dans un cas simple Faire le lien entre les questions

Prendre des initiatives