Soit la suite définie par U

SUITE DE MATRICES COLONNES VERIFIANT U

= AU

+ B.

Exemple :

Soit la suite définie par U

=  

  6

5 et U

 

  27 20

30 22 U

+  

  3

2 . On a alors A =  

  27 20

30 22 et B =  

  3

2 .

On admet (se montre par récurrence) que pour tout n de , A

=

 



 

 6 2

25 3

20 ( 2

3

)

30 ( 3

2

) 25 2

24 3

. Appliquer la méthode ci-dessus et exprimer U

en fonction de n.

Méthode générale :

Une suite de matrices colonnes ( ^U

) ^{vérifie U}

^{= AU}

+ B, où la matrice I A est inversible.

1) On résout l équation C = AC + B : elle admet une unique solution C = ( ^I

^A )

^B.

2) On introduit la suite auxiliaire ( ) ^X

définie par X

= U

C.

3) On prouve qu elle vérifie, pour tout n de , X

= AX

, puis par récurrence, que X

= A

X

. 4) On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel n, U

= X

+ C.

On a alors U

A

( ^U

^C ) ^{+ C.}