Nombres complexes – TD
5Forme algébrique et formes trigonométriques
Exercice 1
Mettre sous forme algébrique : 1. z1= 2
1+i; 2. z2=(3−2 i)3; 3. z3= 3−i
2+3 i+ 3+i 2−3 i; Exercice 2
Déterminer le module et un argument de : 1. z1=1+ip
3 ; 2. z2=i−1 ; 3. z3=1+j ; 4. z4= 1+i 1+ip
3; 5. z5=(1+i)2021. Exercice 3
Déterminer la partie réelle de 1. z1=
Ã1+ip 3 1−i
!123
; 2. z2=(3+2 i)2×(2−i) ; 3. z3=(3+2 i)×(1+i) 1−i ;
Exercice 4
On considèrez=p
3+1+i (p 3−1).
1. Déterminer la forme algébrique dez2.
2. Mettrez2sous forme trigonométrique. En déduire le module et un argument de z.
3. En déduire cos³π 12
´et sin³ π 12
´.
Exercice 5 Soitθ∈i
−π 2,π
2
h. Déterminer le module et un argument de :
1. 1+i tan(θ) ; 2. 1−i tan(θ)
1+i tan(θ); Exercice 6
Soitθ∈R. Lorsque que c’est possible, mettre sous forme trigonométrique : 1. 1+eiθ;
2. 1+sin(θ)−i cos(θ) ;
3. 1+cos(θ)−i sin(θ)
1−cos(θ)−i sin(θ) (θ,0 [2π]) ; 4. (1+cos(θ)+i sin(θ))n(n∈N).
Exercice 7
Déterminer les valeurs den∈Npour lesquels¡ 1+ip
3¢n
est :
1. réel ; 2. réel positif ; 3. imaginaire pur.
Exercice 8 Montrer que :
∀n∈N,∀z∈C\U,
¯
¯
¯
¯
1−zn+1 1−z
¯
¯
¯
¯É1− |z|n+1 1− |z| .
Exercice 9 Montrer que :
∀z∈C?,∀u∈U,
¯
¯
¯
¯ u−1
z
¯
¯
¯
¯=|u−z|
|z| . Exercice 10
Soitz∈Cetu∈U\ {1}. Montrer que z−u×z
1−u est un réel.
Exercice 11
Soitz∈U\ {1}. Montrer qu’il existe un réelxtel quez=x+i x−i. Exercice 12
Montrer que :
∀(a,b)∈U×U,(a+b)
2
a×b ∈R+. Exercice 13
Montrer que :
1. ∀(z1,z2)∈C2,|z1| + |z2| É |z1+z2| + |z1−z2|. 2. ∀z∈C,|Re(z)| + |Im(z)| Ép
2× |z|. 3. ∀(z1,z2)∈C2,|z1+z2|2+ |z1−z2|2=2¡
|z1|2+ |z2|2¢
.Identité du parallélogramme.
Nombres complexes et géométrie
Exercice 14
Représenter l’ensemble des pointsMd’affixe ztels que : 1. z2est réel ;
2. z3est imaginaire pur ;
3. |z| = |z−i|; 4. z+z= |z|.
5. |z−3|
|z−5|= p2
2 . 6. |1+i×(z−2)| =2
Exercice 15
Soitf :C→Cla fonction définie, pour toutz∈C, par f(z)=z−1 z−1. 1. Calculer f(2+ip
3).
2. Exprimer les parties réelles et imaginaires de f(z) en fonction de celles dez.
3. Déterminer les nombres complexesztels que f(z)∈R 4. Déterminer les nombres complexesztels que f(z)∈iR Exercice 16
Déterminer l’ensemble des nombres complexesztel que les points d’affixes respectives z,z2etz4sont alignés.
Exercice 17
Déterminer une condition nécessaire et suffisante surz∈Cpour que
¯
¯
¯
¯
1−i×z 1+i×z
¯
¯
¯
¯=1.
Exercice 18
SoientA,BetCtrois points non alignés d’affixea,betc.
1. Montrer que le triangleABCest équilatéral direct si, et seulement si,a+b×j+c×j2=0.
2. Déterminer l’affixe du centre de gravité deABC.
3. On considère les triangles équilatéraux de baseAB, ACetBC construits à l’extérieur deABC. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forme un triangle équilatéral.
Applications des nombres complexes à la trigonométrie
Exercice 19
Soitx∈R. Mettre sous la formeA×cos(x−ϕ), avecA>0 etϕ∈R, les expressions suivantes :
1. cos(x)−sin(x) ; 2. cos(x)+p
2×sin(x).
Exercice 20
Déterminer l’ensemble des valeursm∈Rpour lesquelles l’équation p
3×cos(x)−sin(x)=madmet des solutions.
Exercice 21 Linéariser :
1. cos(x)2; 2. sin(x)2; 3. cos(x)3×sin(x) ; 4. sin(x)5.
Exercice 22
Soient (a,b)∈R2etn∈N. Simplifier les sommes :
1.
n
X
k=0
sin(k×a) ; 2.
n
X
k=0
cos(a+k×b) ; 3.
n
X
k=0
sin(a+k×b) ;
4.
n
X
k=0
Ãn k
!
×cos(a+k×b) ; 5.
n
X
k=0
1 2k×cos³
k×π 3
´.
Exercice 23
Soientθ∈Retn∈N. Simplifier les sommes : 1.
n
X
k=0
(cos(θ))k×sin(k×θ) ; 2.
n
X
k=0
(cos(k×θ))2; 3.
n
X
k=0
cos(k×θ)
(cos(θ))k avecθ.π 2[π].
Exercice 24
Exprimer cos(5x) en fonction de cos(x). En déduire la valeur de cos³π 5
´.
Exercice 25
Exprimer sin(5x) en fonction de sin(x). En déduire la valeur de sin³ π 10
´ .
Exponentielle complexe
Exercice 26
Résoudre les équations d’inconnue complexez:
1. ez=2 ; 2. ez=i ; 3. ez= −2 ; 4. ez=2+ip
2.
Racines n-ième d’un nombre complexe
Exercice 27
Calculer les racines carrées de : -1, j, -24,−3+4 i,−p
3−i, 1−i.
Exercice 28
Calculer les racines troisièmes de : -1, j, -24,−p
3−i, 1−i.
Exercice 29
Calculer les racines quatrièmes de i.
Exercice 30
Calculer les racines cinquièmes de 1+i 1−i. Exercice 31
Déterminer les racinesn-ième de i.
Équations algébriques sur C
Exercice 32
Résoudre les équations d’inconnue complexez:
1. z2+3z+3+i=0. 2. z2−ip
3×z−i=0.
Exercice 33
Résoudre l’équation d’inconnue complexez: z6−(3+i)×z3+2+2i=0.
Exercice 34
Résoudre l’équation d’inconnue complexez: z4+4 (1+i)×z+4 i+3=0.
Exercice 35
Résoudre l’équation d’inconnue complexez: (z2+2z+2)2+(3z−1)2=0.
Exercice 36
Résoudre l’équation (1+i×z)5=(1−i×z)5d’inconnue complexezde deux manières différentes et en déduire la valeur de tan³π
5
´. Exercice 37
1. Résoudrez4−30z2+289=0.
2. En déduire une factorisation dez4−30z2+289 en un produit de deux trinômes du second degré à coefficients réels.
Exercice 38
Résoudre le système d’équations d’inconnues (x,y)∈C:
½ x+y = 1+i x×y = 2−i Exercice 39
On noteω=e2 iπ5 ,a=ω+ω4etb=ω2+ω3. 1. Donner les formes algébriques deω,aetb.
2. Déterminer une équation du second degré dontaetbsont les solutions.
3. Résoudre cette équation.
4. En déduire les valeurs de cos µ2π
5
¶ et sin
µ2π 5
¶ .
Exercice 40
Résoudre l’équation 2z3−(3+4 i)×z2−(4−7 i)×z+4+2 i=0 d’inconnue complexezsachant qu’il existe une solution réelle.
Exercice 41
Résoudre l’équation z3+(1−2 i)×z2+(1−i)×z−2 i=0 d’inconnue complexe z sachant qu’il existe une solution imaginaire pure.
Exercice 42
Soitz∈C? etθ∈R. Montrer que : siz+1
z=2 cos(θ) alors, pour toutn∈N,zn+ 1
zn=2 cos(n×θ).
Exercice 43
Soitn∈N?. Résoudre les équations d’inconnue complexez:
1. (z+1)n=(z−1)n. 2.
µz−1 z+1
¶n
+ µz+1
z−1
¶n
=2 cos(θ) oùθ∈R.
Exercice 44
1. Soitn∈N?. Résoudre l’équation (1+z)2n=(1−z)2n d’inconnue complexez.
2. En déduire la valeur de
2n−1
Y
k=1 k,n
tan µk×π
2n
¶ .
Nombres complexes et géométrie (2)
Exercice 45
Déterminer les nombres complexesztels que 1,zetz2forment un triangle rectangle.
Exercice 46
Déterminer les nombres complexesztels quez, 1
z et−i sont alignés.
Exercice 47
1. Déterminer l’écriture complexe de l’homothétie de centre d’affixe 1+i et de rapport−1 4. 2. Déterminer l’écriture complexe de la rotation de centre d’affixe 2+i et d’angle 2π
3 . 3. Déterminer l’écriture complexe de la translation de vecteur d’affixe 3+4 i.
