Nombres complexes et géométrie

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Chapitre 4

Nombres complexes et géométrie

Table des matières

1 Alignement de trois points 1

2 Orthogonalité de deux vecteurs 2

3 Translations 2

4 Homothéties 3

5 Rotations 5

6 Exercices 7

Convention :Dans tout ce chapitre, on fixe un repère orthonormé direct (O;−→u,→−v) du plan usuelP. On peut alors identifier le planP et l’ensembleCdes nombres complexes (cf. affixe d’un point et point d’affixe donnée).

1 Alignement de trois points

Théorème 1(Critère de colinéarité de deux vecteurs).

Soient−→w1et−→w2deux vecteurs du plan, d’affixes respectivesz1,z2.

−→w1et−→w2sont colinéaires ⇐⇒ z1z2∈R

⇐⇒ z1z2=z1z2

Démonstration. Cf. Prise de notes.

Corollaire 1(Critère d’alignement de trois points).

SoientA,B,Ctrois points du plan, d’affixes respectivesa,b,c.

A,B,Csont alignés ⇐⇒ (c−a)³ b−a´

∈R

⇐⇒ (c−a)³ b−a´

=¡ c−a¢

(b−a).

Démonstration. Les trois pointsA,B,Csont alignés si et seulement si les vecteurs−→

ABet−→

ACsont colinéaires.

Le résultat découle alors du théorème 1, en remarquant que l’affixe de−→

ABestb−a, que celle de−→

ACestc−aet en utilisant les propriétés algébriques de la conjugaison complexe.

Exercice d’application 1.

Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixezdu plan tels que les points d’affixes 1+i,z+i et 1+i zsoient alignés.

2 Orthogonalité de deux vecteurs

Théorème 2(Critère d’orthogonalité de deux vecteurs).

Soient−→w1et−→w2deux vecteurs du plan, d’affixes respectivesz1,z2.

−→w1et−→w2sont orthogonaux ⇐⇒ z1z2∈iR

⇐⇒ z₁z₂= −z₁z₂

Démonstration. Cf. Prise de notes.

Exercice d’application 2.

Soient AetBles points d’affixes respectives 1, 3+2i. Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixezdu plan tels que les vecteurs−−→

AMet−−→

B Msont orthogonaux.

3 Translations

Définition 1(Translation ).

Soit−→wun vecteur du plan. La translation de vecteur−→west l’application

¯

¯

¯

¯

¯

t→−w : P → P

M 7→ l’unique pointM^′du plan tel que−−−→

M M^′= −→w.

Figure 1 : Illustration de la translation de vecteur→−w

−

→w

M1

M^′₁

M₂

M^′₂ M3

M₃^′

Propriété 1(Écriture complexe d’une translation).

Soit→−wun vecteur du plan, d’affixeb. Si l’on identifie le planP et l’ensemble des nombres complexesC, alors la translation de vecteur−→ws’écrit

¯

¯

¯

¯

t−→w : C → C z 7→ z+b

Démonstration. SoitMun point du plan d’affixez. SoitM^′l’image du pointMpar la translation de vecteur→−w, dont l’affixe est notéez^′. Il s’agit de prouverz^′=z+b. De la définition 1

−−−→M M^′= −→w

on tire, en utilisant la relation de Chasles

OM−−−→^′=−−→

OM+ −→w.

Remarque 1(Interprétation géométrique de l’addition).

Soitb∈C. Ajouterbà un nombre complexe correspond géométriquement à la translation de vecteur le vecteur d’affixeb, i.e. à la transformation du plant−→woù−→west le vecteur d’affixeb.

Théorème 3(Propriétés des translations).

1. L’applicationi dP (application identité deP) est une translation, puisquei dP=t−→0.

2. Soit−→wun vecteur du plan. Alors l’applicationt−→w est bijective et son application réciproque est donnée par

¡t−→w

¢₋₁

=t₋₋→w. 3. Soient−→w1et−→w2deux vecteurs du plan. Alors

t−→w2◦t−→w1=t−→w1+−→w2. Démonstration. Cf. Prise de notes.

Exercice d’application 3.

Soient−→w1et−→w2deux vecteurs du plan. Les translationst−→w1ett−→w2commutent-elles pour le produit de compo- sition ?

4 Homothéties

Définition 2(Homothétie).

SoitAun point du plan et soitk∈R∗. L’homothétie de centreAde rapportkest l’application

¯

¯

¯

¯

¯

h(A,k) : P → P

M 7→ l’unique pointM^′du plan tel que−−−→

AM^′=k−−→

AM.

Figure 2 : Illustration de l’homothétie de centre A et de rapport2

A

M1

M^′₁

M2

M₂^′

M4

M₄^′

M3

M^′₃

M5

M₅^′

M6

M₆^′

Figure 3 : Illustration de l’homothétie de centre A et de rapport−¹₂

A

M1

M₁^′

M3 M₃^′

M2

M₂^′

Exercice d’application 4.

SoitAun point du plan. Que représente l’homothétie de centreAet de rapport−1 ? Propriété 2(Écriture complexe d’une homothétie).

SoitAun point du plan, d’affixea. Soitk∈R∗. Si l’on identifie le planP et l’ensemble des nombres complexes C, alors l’homothétieh(A,k) de centreAet de rapportks’écrit

¯

¯

¯

¯

h(A,k) : C → C

z 7→ a+k(z−a)

Démonstration. SoitM un point du plan d’affixez. SoitM^′ l’image du pointMpar l’homothétieh(A,k) de centreAet de rapportk, dont l’affixe est notéez^′. Il s’agit de prouverz^′=a+k(z−a). D’après la définition 2

−−−→AM^′=k−−→

AM En passant aux affixes, il vient

z^′−a=k(z−a) relation de laquelle on déduit aisément le résultat.

Exercice d’application 5.

1. Déterminer la nature géométrique de l’application

¯

¯

¯

¯

C → C z 7→ −3z. 2. Soit l’application

¯

¯

¯

¯

f : C → C

z 7→ −z+i

Écriref comme la composée d’une homothétiehpar une translationt. Cette décomposition est-elle unique ?

Théorème 4(Propriétés des homothéties de centre un point donné).

SoitAun point du plan.

1. L’applicationi dP (application identité deP) est une homothétie de centreA, puisquei dP=h(A,1).

2. Soitk∈R∗. Alors l’applicationh(A,k) est bijective et son application réciproque est donnée par h(A,k)⁻¹=h

µ A,1¶

.

Démonstration. Cf. Prise de notes.

Exercice d’application 6.

1. SoitAun point du plan. Soientk1∈R∗etk2∈R∗. Les homothétiesh(A,k1) eth(A,k2) commutent-elles pour le produit de composition ?

2. SoitAle point du plan d’affixe 1. Démontrer

h(O,−1)◦h(A,−1)6=h(A,−1)◦h(O,−1).

5 Rotations

Définition 3(Rotation).

SoitΩun point du plan. Soitθ∈R. La rotation de centreΩet d’angleθest l’application

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

r(Ω,θ) : P → P

M 7→

( Ω, siM=Ω

l’unique pointM^′du plan tel queΩM=ΩM^′et³−−→ΩM,−−−→

ΩM^′´

=θ[2π], siM6=Ω.

Figure 4 : Illustration de la rotation de centreΩet d’angle^π₄

+

π 4 π4

π 4

Ω

M1

M₁^′ M2

M3

M₃^′ M₂^′

Exercice d’application 7.

SoitΩun point du plan. Que représente la rotation de centreΩet d’angleπ? Propriété 3(Écriture complexe d’une rotation).

SoitΩun point du plan, d’affixeω. Soitθ∈R. Si l’on identifie le planP et l’ensemble des nombres complexes C, alors la rotation de centreΩet d’angleθs’écrit

¯

¯

¯

¯

r(Ω,θ) : C → C

z 7→ ω+e^iθ(z−ω).

Démonstration. SoitMun point du plan d’affixez. SoitM^′l’image du pointMpar la rotation de centreΩet d’angleθ, dont l’affixe est notéez^′. Il s’agit de prouverz^′=ω+e^iθ(z−ω).

• Cas où M=Ω

— D’après le définition 3,M^′=Ωet doncz^′=ω.

— PuisqueM=Ω,z=ωet doncω+e^iθ(z−ω)=ω.

Ainsiz^′=ω+e^iθ(z−ω).

• Cas où M6=Ω D’après la définition 3

ΩM=ΩM^′ et ³−−→ΩM,−−−→

ΩM^′´

=θ[2π]

donc

|z^′−ω| = |z−ω| et arg µz^′−ω

z−ω

¶

=θ[2π]

en utilisant les interprétations géométriques des modules et des arguments. On en déduit

¯

¯

¯

¯ z^′−ω

z−ω

¯

¯

¯

¯=1 et arg

µz^′−ω z−ω

¶

=θ[2π].

Les nombres complexes z^′−ω

z−ω ete^iθont donc même module et même argument ; ils sont égaux. De l’identité

z^′−ω z−ω =e^iθ on déduit aisément le résultat.

Exercice d’application 8.

1. Déterminer la nature géométrique de l’application

¯

¯

¯

¯

C → C z 7→ i z.

2. Soit l’application

¯

¯

¯

¯

f : C → C

z 7→ ¡ 1−ip

3¢ z

Écrire f comme la composée d’une rotationr par une homothétie h. Cette décomposition est-elle unique ?

Propriété 4(Interprétation géométrique de la multiplication par un nombre complexe non nul).

Soitaun nombre complexe non nul. L’application

¯

¯

¯

¯

µa : C → C

z 7→ az= |a|e^iarg(a)z

est la composée de la rotation de centreOet d’angle arg(a) par l’homothétie de centreOet de rapport|a|. Ainsi multiplier un nombre complexe paracorrespond géométriquement à la transformation du plan

Théorème 5(Propriétés des rotations de centre un point donné).

SoitΩun point du plan.

1. L’applicationi dP (application identité deP) est une rotation de centreΩ, puisquei dP=r(Ω,0).

2. Soitθ∈R. Alors l’applicationr(Ω,θ) est bijective et son application réciproque est donnée par r(Ω,θ)⁻¹=r(Ω,−θ).

3. Soit (θ1,θ2)∈R. Alors

r(Ω,θ2)◦r(Ω,θ1)=r(Ω,θ2+θ1).

Démonstration. Cf. Prise de notes.

Exercice d’application 9.

1. SoitΩun point du plan. Soient Soit (θ₁,θ₂)∈R. Les rotationsr(Ω,θ₁) etr(Ω,θ₂) commutent-elles pour le produit de composition ?

2. SoitΩle point du plan d’affixe 1. Démontrer r³

O,π 2

´

◦r³ Ω,π

2

´ 6=r³

Ω,π 2

´

◦r³ O,π

2

´.

6 Exercices

Exercice A

Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixeztels queMet les points d’affixes 1 etz²soient alignés.

Exercice B(Généralisation de l’exercice d’application 2)

SoientAetBdes points deux à deux distincts, d’affixes respectivesa,b. Déterminer l’ensemble des pointsM du plan tels que les vecteurs−−→

AMet−−→

B Msoient orthogonaux.

Indication : On pourra introduire le milieu C du segment[AB].

Exercice C

1. Soit l’application

¯

¯

¯

¯

f : C → C

z 7→ (1+i)z−2i.

(a) Déterminer une rotationrde centreO, une homothétiehde centreOet une translationttelles que f =t◦h◦r.

(b) En déduire l’image du pointAd’affixeipar la transformationf, par voie géométrique.

2. Soit l’application

¯

¯

¯

¯

g : C → C

z 7→ (1−i)z+2i. Déduire de la question 1.(b) l’image du pointApar la transformationg.

Exercice D(Similitudes directes)

On appelle similitude (directe) toute application de la forme

¯

¯

¯

¯

f : C → C

z 7→ az+b oùa∈C∗etb∈C.

1. Proposer une interprétation géométrique d’une similitude, en s’inspirant de la décomposition obtenue à la question 3.

2. Justifier que l’application identité est une similitude.

3. Démontrer qu’une similitude est une application bijective, et que son application réciproque est égale- ment une similitude.

4. Démontrer que la composition de deux similitudes est une similitude.

Exercice E

Déterminer une similitude

¯

¯

¯

¯

f : C → C

z 7→ αz

oùα∈C∗, telle quef(A)=A^′,f(B)=B^′,f(C)=C^′etf(D)=D^′, où les pointsA,B,C,D,A^′,B^′,C^′,D^′sont définis sur la figure ci-dessous.

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

A B

C D

C^′

D^′ A^′

B^′

Exercice F

SoitA,B,Ctrois points du plan, non alignés, d’affixes respectivesa,b,c. On dit que le triangleABCest équila- téral direct si et seulement sia+b j+c j²=0.

Exercice G

1. SoitABC Dun carré dans le plan. Prouver que si les coordonnées deAetBsont entières alors les coor- données deCetDle sont aussi.

2. Peut-on construire un triangle équilatéral dont les trois sommets possèdent des coordonnées entières ?