PanaMaths Décembre 2013
Soit a un réel non nul.
Développer en série entière sur \ :
( ) sin ( )
f x = x a +
Analyse
Un peu de trigonométrie élémentaire et la connaissance de certains développements en séries entières usuels permettent facilement d’obtenir le résultat.
Résolution
On a : sin
(
x a+)
=sin cosa x+cos sina x.Or, pour tout x réel, on a les développements en séries entières usuels suivants :
( ) ( )
2 4 2
0
cos ... 1
2 24 2 !
k k
k
x x x
x x
k
+∞
=
= − + − =
∑
−( ) ( )
3 5 2 1
0
sin ... 1
6 120 2 1 !
k k
k
x x x
x x
k
+∞ +
=
= − + − = −
∑
+ Il vient donc :( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 1
0 0
2 2 1
0
sin sin cos cos sin
sin 1 cos 1
2 ! 2 1 !
sin cos
1 2 ! 2 1 !
k k
k k
k k
k k k
k
x a a x a x
x x
a a
k k
a a
x x
k k
+∞ +∞ +
= =
+∞ +
=
+ = +
= − + −
+
⎛ ⎞
= − ⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠
∑ ∑
∑
Résultat final
( )
0( ) ( )
2( )
2 1sin cos
sin 1
2 ! 2 1 !
k k k
k
a a
x a x x
k k
+∞ +
=
⎛ ⎞
+ =
