PanaMaths Décembre 2012

PanaMaths Décembre 2012

Développer en série entière sur \ :

( ) ( )

^{4 4}

ln 1

^⎡⎢

x 1 x

^⎤⎥

⎢ ⎥

⎣

+ + −

⎦

Analyse

Comme bien souvent avec la fonction logarithme népérien, on cherche à se ramener à une expression de la forme ^{ln 1}

(

^+x

)

… de façon à pouvoir utiliser :

( ) ( )

¹

1

ln 1 1

n n

n

x x

n

+∞ −

=

+ =

∑

− ^.

Résolution

On a :

(

^1+x

) (

^{4+ −1 x}

)

^{4= +1 4x+6x2+4x3 +x4+ −1 4x+6x2−4x3}

( )

4

2 4

2 4

2 12 2

2 1 6

x

x x

x x

+

= + +

= + +

On pose X =x² et on s’intéresse au trinôme : X²+6X +1.

Le discriminant réduit associé vaut : Δ =' 3²− × = − =1 1 9 1 8 et Δ =' 2 2. On a alors les deux racines : X₁= − −3 2 2 et X₂= − +3 2 2.

En remarquant que leur produit vaut 1 (elles sont donc inverses l’une de l’autre), on obtient la factorisation :

( )( )

N

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2

1 2 1 2

1 2

1 2 2 1

1

2 1

2 2

2 2

6 1 1 1

1 1

1 1

1 3 2 2 1 3 2 2

1 3 2 2 1 3 2 2

X X

X X X X X X X X

X X

X X X X X X

X X X X

x x

x x

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + = − − = ⎜ − ×⎟ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − −

= − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − − −⎣ ⎦ ⎣ − − + ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + +⎣ ⎦ ⎣ + − ⎦

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On a donc :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

{ }

( ) ( )

4 4 2 4

2 2

2 2

ln 1 1 ln 2 1 6

ln 2 ln 1 3 2 2 1 3 2 2

ln 2 ln 1 3 2 2 ln 1 3 2 2

x x x x

x x

x x

⎡ + + − ⎤= ⎡⎣ + + ⎤⎦

⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + ⎣ + + ⎦ ⎣ + − ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + ⎣ + + ⎦+ ⎣ + − ⎦

La fonction ^{x6ln 1⎡}_⎣ ^{+ +}

(

^{3 2 2}

)

^x2⎤_⎦ est développable en série entière pour tout x tel que

(

^{3 2 2+}

)

^{x2∈ −}

^]

^{1; 1}

^]

^{, soit}

(

^{3 2 2+}

)

^x2∈

^{[ ]}

^{0 ; 1 . On a :}

( )

^{2 2 1}

0 3 2 2 1 0 3 2 2 3 2 2

3 2 2

x x x

≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ = − ⇔ ≤ −

+

Le rayon de convergence de la série entière associé à la fonction ^{x6ln 1⎡}_⎣ ^{+ +}

(

^{3 2 2}

)

^x2⎤_⎦

vaut donc R₁= 3 2 2− et pour tout réel x de l’intervalle ⎡⎢⎣− 3 2 2 ; 3 2 2− − ⎤⎥⎦, on a :

( )

2

^{( )}

1

( )

²

_{( )}

1

( )

2

1 1

3 2 2 3 2 2

ln 1 3 2 2 1 1

n n

n n n

n n

x

x x

n n

+∞ +∞

− −

= =

⎡ + ⎤ +

⎣ ⎦

⎡ + + ⎤= − = −

⎣ ⎦

∑ ∑

De façon analogue, on montre que le rayon de convergence de la série entière associée à la fonction ^{x6ln 1⎡}_⎣ ^{+ −}

(

^{3 2 2}

)

^x2⎤_⎦ ^{vaut R2= 3 2 2+} et pour tout réel x de l’intervalle

3 2 2 ; 3 2 2

⎡− + + ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦, on a :

( )

2

^{( )}

1

( )

2

1

3 2 2

ln 1 3 2 2 1

n

n n

n

x x

n

+∞ −

=

⎡ + − ⎤= − −

⎣ ⎦

∑

Ainsi, pour tout réel x de ⎡⎢⎣− 3 2 2 ; 3 2 2− − ⎤⎥⎦= −⎡⎣ min

(

R R1, 2

)

; min

(

R R1, 2

)

⎤⎦, on a :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) _{( )} ( )

( ) ( ) ( )

4 4 2 2

1 2 1 2

1 1

1 2

1

ln 1 1 ln 2 ln 1 3 2 2 ln 1 3 2 2

3 2 2 3 2 2

ln 2 1 1

3 2 2 3 2 2

ln 2 1

n n

n n n n

n n

n n

n n

n

x x x x

x x

n n

n x

+∞ +∞

− −

= =

+∞ −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ + + − ⎤= + + + + + −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ −

= + − + −

+ + −

= + −

∑ ∑

∑

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Résultat final

( ) (

⁴

)

⁴

( )

¹

( ) ( )

2

1

3 2 2 ; 3 2 2

3 2 2 3 2 2

ln 1 1 ln 2 1

n n

n n

n

x

x x x

n

+∞ −

=

⎡ ⎤

∀ ∈ −⎢⎣ − − ⎥⎦

+ + −

⎡ + + − ⎤= + −

⎣ ⎦

∑