PanaMaths Décembre 2001
Déterminer :
1
cos 2 lim
x1
x x π
→
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
Analyse
Comme nous avons :
lim cos1 0 2
x
πx
→
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et lim 1x→1
(
− x)
=0, nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type « 00 ». L’idée consiste ici à utiliser d’abord l’expression conjuguée de 1− x, à savoir 1+ x, pour s’affranchir du radical au dénominateur, puis à faire apparaître une limite connue en 0 après avoir posé x= +1 h.
Résolution
Nous allons donc considérer la fonction f définie par :
cos 2
( ) 1
x
f x x
⎛π ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − .
Dans un premier temps, nous récrivons f comme suit :
( )
( )( )
( )
cos 1 cos 1 cos
2 2 2
( ) 1 1 1 1
x x x
x x
f x x x x x
π π π
⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= = =
− − + −
Posons maintenant : x= +1 h. On aura alors :
1 0
lim ( ) lim (1 )
x f x h f h
→ = → + .
PanaMaths Décembre 2001
On a :
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
cos 1
1 1 1 2
1 1
cos 2 2
1 1
sin 2
1 1
sin 2
1 1
2
2 h
f h h
h h
h h
h
h h
h
h h
π
π π
π
π
π π
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ = + +
− +
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + +
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + +
Comme lim 1h→0
(
+ 1+h)
=2 et lim0 sin 2 12
h
h h π π
→
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, il vient :
( )
0
lim 1
h f h π
→ + = .
Soit, finalement :
1
lim ( )
x f x π
→ = .
Résultat final
1
cos 2 limx 1
x x π
→ π
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟ =
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
