PanaMaths Décembre 2013

PanaMaths Décembre 2013

Déterminer :

2

2

arctan 1

x a x dx

x + +

∫

où a est un réel quelconque.

Analyse

Dans cet exercice, il est essentiel de connaître la dérivée de la fonction arctan ! Mais il convient également de savoir effectuer (même si l’on n’est pas obligé ici de l’appeler comme ça ! ☺) la division euclidienne de « x²+a » par « x²+1 » …

Résolution

Notons d’abord que, pour tout a réel, la fonction

2

2 arctan 1 x a

x x

x +

6 + est continue sur \

comme produit de deux fonctions (une fonction rationnelle et la fonction arctan) définies et continues sur cet intervalle. Ainsi, elle admet des primitives sur tout intervalle de \. Soit a un réel quelconque fixé.

Pour tout x réel, on a : ²₂ ^{arctan 2 1}₂ ^{1arctan arctan}

(

)

1 1 1

x a x a x

x x x a

x x x

+ = + + − = + −

+ + + .

La fonction arctan₂ 1 x x

x +

6 est de la forme ^{x6u x u x'}

( ) ( )

( )

primitives sur tout intervalle de \ sont donc les fonctions :

( ( ) )

( )

1 1

arctan

2 2

x6 u x + =C x +C

où C est une constante réelle quelconque.

Pour déterminer les primitives de la fonction arctan, on procède classiquement à une intégration par parties en posant ^{u x}

( )

( )

( )

u x 1

= x

+ , et ^{v x'}

( )

dont une primitive est ^{v x}

( )

PanaMaths Décembre 2013

On a alors :

( ) ( )

( )

2

2

2

2

arctan arctan

1

1 2

arctan

2 1

arctan 1ln 1 '

2

arctan ln 1 '

1

x dx x x x dx

x

x x x dx

x

x x x C

x x C

x

= × −

+

= × −

+

= × − + +

= × + +

+

∫ ∫

∫

où C' est une constante réelle quelconque.

Finalement :

( ) ( )

2 2

2 2

1 1

arctan arctan ln arctan

1 1 2

x a a

x dx x x x k

x x

+ = × + + − +

+ +

∫

où k est une constante réelle quelconque.

Résultat final

2

( )

2 2

1 1

arctan arctan arctan ln

1 2 1

x a a

x dx x x x k

x x

++ =⎛⎜⎝ + − ⎞⎟⎠ + + +

∫

où k est une constante réelle quelconque.