PanaMaths Décembre 2013

PanaMaths Décembre 2013

Calculer l’intégrale définie :

0

I 1 sin

t dt

t

= +

∫ ^.

On pourra effectuer le changement de variable : u = − π t .

Analyse

Le changement de variable proposé permet en fait de ramener le calcul proposé (où le numérateur est … « gênant ») à un calcul plus simple. Ensuite, il convient de ne pas négliger les caractéristiques propres à la fonction sinus.

Résolution

Comme suggéré dans l’énoncé, nous posons u= −π t. Il en découle immédiatement : du= −dt.

Comme ^sint=sin

(

)

( )

0

0 0 0

I I

1 sin 1 sin 1 sin 1 sin

t u u du

dt du du

t u u u

π π π

π

π ⁻ π ⁻ π

= = − = = −

+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫

D’où :

0

2I 1 sin

du u ππ

=

∫

0

I 2 1 sin du

u π π

=

∫

On remarque alors que l’on peut tirer parti de la symétrie du sinus. En effet, on montre facilement (à nouveau grâce au changement de variable t= −π u !) que l’on a :

2

0

2

1 sin 1 sin

du du

u u

π π

π

+ = +

∫ ∫

Il vient alors :

2 2 2

0 0 0 0

2

I 2

2 1 sin 2 1 sin 1 sin 2 1 sin 1 sin

du du du du du

u u u u u

π π π

π π

π

π π π π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= + = ⎜⎜⎝ + + + ⎟⎟⎠= × + = +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

PanaMaths Décembre 2013

Pour calculer

2

01 sin du

u

π

∫

2 arctan

u= θ, qui est ici bijectif de

[ ]

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ (remarque : essayer ce changement de variable sans la remarque préliminaire relative à la symétrie du sinus …).

On a : ^{1 1 tan2 1}

(

)

2 2 2

dθ = ^⎛⎜⎝ + u^⎞⎟⎠du= +θ du, soit 2 ₂ du 1 dθ

= θ

+ .

Et : ²

( )

2 2 2

2 2 1 1

1 sin 1

1 1 1

u θ θ θ θ

θ θ θ

+ + +

+ = + = =

+ + + .

Il vient alors :

( ) ( )

1 2 1 1

2

2 2 2

0 0 0 0

1 2 1 1 1

2 2 2 1

1 sin 1 1 1 1 2 1

du d

u d

π

θ θ θ

θ θ

θ θ

+ ⎡ − ⎤ ⎛− − ⎞

= = = ⎢ ⎥ = ⎜ − ⎟=

+ + + + ⎣ + ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

Finalement :

2

0

I 1 sin

du u

π

π π

= =

∫

Résultat final

1

01 sin t dt

t =π

∫