B ULLETIN DE LA S. M. F.
W ILLIOT
Note sur le procédé le plus simple de calcul des nombres de Bernoulli
Bulletin de la S. M. F., tome 16 (1888), p. 144-149
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144
Note sur le procédé le plus simple de calcul des nombres de Bernoulli; par M. WILLIOT.
(Séance du 6 juin 1888.)
De nombreuses méthodes ont été proposées pour simplifier, autant que possible, le calcul des nombres de Bernoulli ; mais il ne semble pas que Pon ait tiré un parti suffisant des remarquables formules de Seidel, généralisées par M. Stern.
M. E. Catalan, en démontrant le théorème de Staudt et Clau- sen, a signalé comme avantageux (1) Remploi des nombres entiers
(') Bulletin des Sciences mathématiques, y série, T. IV (mars 1880).
— 143 — et impairs P,,, déterminés par la formule
P ^ = = 2 ( 2 ^ — — I ) B ^ ;
mais les formules complexes qui lui servent au calcul de Pa» sont un obstacle à Inapplication de cette méthode. Déjà M. Edouard Lucas, après avoir démontré la seconde formule de Seidel ( ' ) , (a) (i^- i)B2,,+ ^(22^-2— i) B^-2+ ^(-^-^OB^-^ ... == o, remarque que cette formule équivaut à l'expression symbolique
P'»(P - h l ) ^ = 0,
où les exposants doivent être transformés en indices après le dé- veloppement.
Si l'on transforme, à l'aide de celle équation, les Pa/^ en déter- minants, on constitue le Tableau suivant, formé très s i m p l e m e n t au moyen des coefficients binomiaux :
n == 3 4 5 6
3|i i 6
» 5
» i
» »
» »
» »
» »
» » w »
» i
10 I
i5 i5 7 35 ai
i -28 70 28
» 9 ^ î ï9'^ ^6
)> ï 45 210 210 4^
» » i l i65 462 33o 55
» » ï 66 49^ O^ 493 66 ï
»
»
»
»
» ï
»
»
»
» ï
»
»
»
»
» ï
. »
»
»
»
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» ï
»
»
»
»
»
» y ï
» »
» W )) »
» »
» »
)) )) )) )>
» »
I »
3
— 17 + i55
— 2073 -+- 3829.7
—g'^P61) -+- 28620619
[ ï
0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
I
6
0 0 I
0 0
0 I
La réduction très facile de ce déterminant nous donne aisé- ment dans la première colonne, en dehors de Pa == ï , P / . = = a , P,=3, p , = ^ p ^ i 5 5 ^ . . .
La simplification résultant de l'emploi de la formule (a) de M. Seidel est donc considérable; mais les nombres Pa/; ont mal- heureusement une croissance bien plus rapide encore que celle des nombres de Bernoulli, et nous croyons plus avantageux d'avoir recours à l'autre formule de M. Seidel, en la transformant d'une façon analogue.
Celte formule
B^-H(B -+-1)" -h B" (B -4- i)"-1-1 == o
( ') Bulletin de la Société mathématique de France,^. VIII, n° 5 (1880), p. 1:2.
X V ï . 10
IU)
donne par développement
( y -t- '-Y—' ) l^// -T- [ 713 -+- ( n +1)3 J B^,-2
+ [n^(n -+- i)5]B^+ . .. j B;
( |i 4- {n -+- i)JB,,4-i=-= o,
selon que n est pair ou impair.
Or on a, identiquement,
On peut
/n-}-î\ n l ^ i À ^
donc
/ » + (
np-b(n écrire,
71 4- I \
71=1/3 -^-I)p=
en fais
Q2/.=
Q2/1-2-+- (71-
ant
= (27i4-i)B2^
( "
\n
+') 0
+ i + i
'in— P-+-
s^'
^ ———————————
/ 71+1
) Q2//-4 + . . .
a
1 0
n -r-1 ^/l 714-1 71+1 w
selon que /i est pair ou impair. On supprimera le dénominateur commun (n + i), et l'on pourra, en remarquant que les Q d^'ndice impair sont nuls, écrire symboliquement
Q"(i-4- Q^+i == o.
En admettant Qo== i , Q< = = — i , on peut développer en déter- minant cette formule et poser
( ^ + O B ^ Q , , ^ ^
( ' ) Euler a rencontré la série de ces nombres Q^ dans la sommation de la sér
1 . ! i J . ! , 22"-*7^3W
l2""^ 2"* + 32" ' 4^ ^ " l.-2.3...(^+i) Q2»' l|'2 »
)) i 3
» » 4
» » I 10
» )) )) 6 20
» » » i il 35
» » » » 8 56
» » » » i 36 126 84
)) » » )) » 10 120 232 120
» » » » )) i 55 33o 462 i65
» » » » » » 12 220 792 792 <<l'20
»
» 4
»
»
» 5
»
»
»
» 6
»
»
»
»
» 1""»
56
»
»
»
»
»
» 8
»
»
y
» )) )) ))
9
» r>
)) ))
»
»
»
»
10
»
»
»
»
»
»
»
»
» il
...
...
12 . . .
n == 2 3 4 5 6 7 8 9
10
l î
12
e
- 147 -
La formation de ce déterminant avec les coefficients binomiaux est des plus simples.
Cette simplification est d^ailleurs naturelle, étant donné que, suivant la loi de MM. Standt et Clausen, le dénominateur de 83,, ne doit contenir aucun facteur premier compris entre (/i+i) e t ( 2 n - + - i ) .
Le desideratum serait de faire sortir du déterminant tous les facteurs non premiers compris entre i et (9./?-t-i); multiplions, par les facteurs non premiers
^ r5, 'AI5
'25
^7,
?
335
35 39,
Î
45, 5i î9,
•) 55,
^T'
les colonnes dont le dernier chiffre est Funité et correspond au même nombre à l'extrémité de la ligne. Nous pourrons alors di- viser respectivement les lignes par 4 » ^ <^» 9, io, 1 2 , i 4 ? 1 ^ 7 i6?
1 8 , et faire sortir des déterminants tous les nombres non premiers qui figurent au dénominateur
( • A / l - r - l ) B ^ = = Q ^ = 1 . '2
(~
.3.5 ï^- . 7 . 1
1
( . 1 7 .
»
»
» y
»
y
» 1 )'
1 0 45 i 3o i i8<)
>) 9
» i y »
» »
» » ))
» ï
35 - 4 ï ï
»
»
»
» / î 4 1%
55 ï
» ))
»
ï 5
i4o 378
4950
275
»
w y
» y
r i%
46'2
66
»
»
M )) )) ))
r i65
60
» v v
» y ))
•A3l
385
» ...
» ...
M . . . )) ...
» . . . )) ...
)) ...
)) . . .
ï ...
Nous ne conservons ainsi au dénominateur que les nombres pre- miers compris entre ï e t ( / î + ï). Mais nous avons à faire disparaître, par la réduction, les facteurs 9, i5, a i , aj, . . . que nous avons introduits, et nous profiterons naturellement pour cette élimina- tion de ce que ces facteurs de la forme (2/1-4-1) doivent diviser les déterminants suivant la loi de MM. Standt et Clausen.
La réduction de ces déterminants ne présente d^ailleurs aucune difficulté. Elle conduit aux formes suivantes, dans lesquelles le dénominateur comprend les nombres premiers de a à (n -4- ï ) et le nombre (2/1 4- ï ) s^il est premier.
148 i° De n= 3 à n == 8
R (-l)n~ï în (271+1)2.3.5
2° De n === 9 à ^ = 14 :
(—i)"-1 ( 2 71 -h 1 ) 9.. 3 . 5 . 7 . 11 . I 3
On trouve ainsi
8545i3.5.7.i
22 -2.3.5.7.11.a3 2.3.23'
^ %374946i02 2.3.5.7.ii.i3.29 3° De n
(-i)"-1 (2/1+1)2.3.3.7.11.13.17
r» 77093<ÎI04I2l B32 - 2.3.5.7.1
5.5.7 i
— 691 o 7.5.7 o -36i7
43867.5 o
—i746i
8545l 3.5.7 o o o o o
—236364091 o 8553io3.5.7 o
—23749461029.7 o
-36i7.7.n
—174611.7 8545i3.5.7.n 8a
—23749461029.7.11 86i5841276005.5
—77oc
5.5 1 i - 691 o
7.5 o
—36i7 o
.7 o H.7 o
i 8545(3 9 . 7 . I I - I3
== 15 à n •===.
43867.5.H
>6364o9i.ii 553io3.5.7.il
}32io4i2i7.7- 7 . 7 . H - Ï3 i.i3.17
0
7
0 0
0 0 0 1 0 0 0 I 0 0 I 0 0 0 I 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23749461029
2.3.5.29
^
I I
7709321041217
2.3.5.17
0 0 I 0
0
I 0 I 0 0 I 0 0 0 1
o o o o i3
0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
n == 5
0 0 0 0
6 / 8
0 0 0 0 0 I I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 I
0 0 0 0 0 0 0
i3
0 0 0 0 0 0 0 0 I
n = 6
10
i l
12
i3 i4
n = i5 n = 16
Le calcul ne comprend que des multiplications et des additions, et s'effectue aussi rapidement que le permet l'importance des nombres en question.
On trouve ainsi une confirmation de la loi de MM. Standt et Clausen. Nous avons indiqué ici une réduction successive; mais
- 149 -
on pourrait également calculer directement un déterminant quel- conque, c'est-à-dire un nombre quelconque de Bernoulli.
Nous sommes d^ailleurs arrivé à ces déterminants en réduisant Impression immédiate du coefficient de la formule d'Euler
A F ( » = A F ' ( a 7 ) 4 - A i A F ' ( . r ) h
-\- A,AF'(2)/22-4- A a A F ^ O ) / ^ — . . . + A,,,AF^(.r)/^+ .. . qui est
— - i i o o
1 . 2 . 3 î
1.2.3.4 r . ï . 3 i . 2 B//( = = ( - i y / < - i
i . 2 . . m
1.2.3.4.5 1.2.3.4 1.2.3 I.-2
1 . 2 . . W 1 . 2 . ( / 7 l — I ) I . 2 . ( ^ — 2 ) I . 2 . ( / l — 3 ) I I I 1
i.2.(/n-4-i) 1.2.m i.2.(/7i—î) i.2.(/n—a) déterminant symétrique formé avec les (m -4- î) premières fonc- lions ^.
Nous ne donnons pas ces calculs, un peu étendus, qui ne font que conduire à la formule de Seidel.
