PanaMaths Décembre 2004
Résoudre :
( )
23 ln x 19ln x 14 0
− + + = (E)
Analyse
On pose la condition d’existence du logarithme népérien puis on effectue un changement de variable pour se ramener à un type d’équation connu.
Résolution
lnx est défini si, et seulement si, on a : x>0. On cherche donc des solutions dans
]
0,+∞[
.Posons alors : X =lnx. Avec cette nouvelle variable, l’équation (E) se récrit : 3X2 19X 14 0
− + + =
Le discriminant vaut : Δ =192−4.
( )
−3 .14=361 168+ =529=232.On en tire les deux racines réelles :
1 2
19 23 42 19 23 4 2
6 6 7 et 6 6 3
X = − − = − = X = − + = = −
− − − −
En revenant à la variable initiale, on obtient les deux solutions de l’équation (E) :
1 2
2
7 3
1 X 1096, 633 et 2 X 0,513
x =e =e x =e =e− Les valeurs fournies sont des valeurs approchées à 10−3 près.
Résultat final
L’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble :
2 3, 7
S ⎧e− e ⎫
= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
