PanaMaths Décembre 2001
Calculer :
2 3
cos ( )sin ( ) x x dx
∫
Analyse
La fonction sous le signe somme est intégrable sur \ puisqu’elle y est définie et continue (produit de deux fonctions définies et continues sur \ comme puissances de fonctions définies et continue sur \ …).
Nous sommes dans une situation classique où un changement de variable simple permet de mener le calcul.
Résolution
La transformation x→ −x laisse la forme différentielle ω( )x =cos ( ) sin ( )2 x 3 x dx invariante puisque d(− = −x) dx et cos (2 −x) sin (3 − = −x) cos ( ) sin ( )2 x 3 x . On peut donc (d’après la règle de BIOCHE correspondante) effectuer le changement de variable : u=cos( )x qui donne
sin du= − xdx.
Il convient désormais de faire apparaître sous le signe somme la nouvelle variable :
( )
( )
( )
( )
2 3 2 2
2 2
2 2
4 2
cos ( ) sin ( ) cos ( ) 1 cos ( ) sin cos ( ) 1 cos ( ) (cos )
1
x x dx x x xdx
x x d x
u u du
u u du
= −
= − −
= − −
= −
∫ ∫
∫
∫
∫
On est ainsi ramené au calcul des primitives d’un polynôme et on a :
(
u4−u2)
du=15u5−13u3+C∫
où C est une constante réelle quelconque.
PanaMaths Décembre 2001
Le calcul s’achève alors en remplaçant u par cos( )x :
2 3 1 5 1 3
cos ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( )
5 3
x x dx= x − x +C
∫
Résultat final
2 3 1 5 1 3
cos ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( )
5 3
x x dx= x − x +C
∫
où C est une constante réelle quelconque
