PanaMaths Décembre 2004

PanaMaths Décembre 2004

Résoudre :

(

²

) (

²

)

ln x − 4 x + = 3 ln − + x 6 x − 8 (E)

Analyse

Il convient dans un premier temps d’étudier les signes des fonctions polynômes

( )

²

1 4 3

f x =x − x+ et f2

( )

x = − +x² 6x−8 puisqu’il est nécessaire que les arguments du logarithme népérien soient strictement positifs.

Résolution

On obtient facilement les racines des polynômes X²−4X +3 et −X²+6X −8 :

( )( )

2 4 3 1 3

X − X + = X − X − d’où f x1

( )

= ⇔ =0 x 1 ou x=3

( )( )

2 6 8 2 4

X X X X

− + − = − − − d’où f2

( )

x = ⇔ =0 x 2 ou x=4 Le coefficients de x² dans l’expression de f₁ étant positif, on a :

( ) ] [ ] [

1 0 1 ou 3 ,1 3,

f x > ⇔ <x x> ⇔ ∈ −∞ ∪x +∞

Le coefficients de x² dans l’expression de f₂ étant négatif, on a :

( ) ] [

2 0 2 4 2, 4

f x < ⇔ < < ⇔ ∈x x On en déduit donc :

( ) ( )

] [ ] [

] [ ] [

1 2

0 ,1 3,

3, 4

0 2, 4

f x x

x

f x x

⎧ > ⎧ ∈ −∞ ∪ +∞

⎪ ⇔⎪ ⇔ ∈

⎨ < ⎨ ∈

⎪ ⎪

⎩ ⎩

Nous recherchons donc des solutions dans l’intervalle

] [

^{3, 4 .}

Dans ces conditions, on a les équivalences :

(

²

) (

²

)

2 2

2

ln 4 3 ln 6 8

4 3 6 8

2 10 11 0

x x x x

x x x x

x x

− + = − + −

⇔ − + = − + −

⇔ − + =

PanaMaths Décembre 2004

Résolvons l’équation 2x²−10x+ =11 0 dans \.

Le discriminant réduit s’écrit : ^{Δ = −'}

( )

^{5 2− × =2 11 25 22− =3}. On en tire les deux solutions réelles de l’équation :

1 2

5 3 5 3

1, 634 et 3,366

2 2

x = − x = +

Mais comme nous recherchons des valeurs de x dans l’intervalle

] [

^{3, 4 , seule} x2 satisfait à cette condition et est solution de l’équation initiale (E).

Résultat final

L’ensemble des solutions de l’équation (E) est le singleton :

5 3

S ⎧⎪ +2 ⎫⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭