PanaMaths Décembre 2001
Déterminer les primitives de :
( ) ( ) x
41
3f x x
= −
Analyse
La fraction rationnelle
(
x4 1)
3x
− n’est pas définie pour x0 =0. En revanche, sur les intervalles où elle est définie,
]
−∞, 0[
et]
0,+∞[
, elle est continue. Ce sont donc les intervallesd’intégrabilité et nous nous plaçons sur l’un d’entre eux pour mener les calculs.
Le dénominateur étant simple, nous pouvons développer le numérateur.
En y regardant de plus près, un changement de variable peut également servir de point de départ.
Bien que les deux méthodes soient voisines, nous les développons ci-dessous.
Résolution
1
èreméthode : développement du numérateur
Le numérateur se développe comme suit :
(
x4−1)
3=x12−3x8+3x4−1La fraction se récrit alors :
(
4)
3(
12 8 4)
11 7 3
1 1
3 3 1
3 3 1
x x x x
x x
x x x
x
− = − + −
= − + −
D’où :
(
4 1)
3 11 7 3 1 1 12 3 8 3 43 3 ln
12 8 4
x
dx x x x dx x x x x K
x x
− = ⎛⎜⎝ − + − ⎞⎟⎠ = − + − +
∫ ∫
où K est une constante réelle quelconque.
PanaMaths Décembre 2001
La présence du logarithme népérien rend la limite d’une telle fonction infinie en x0 =0, on ne peut donc envisager un prolongement par continuité en ce point.
2
èmeméthode : changement de variable
En écrivant :
(
4) (
3 4)
3 34
1 1
x x x
x x
− −
= , on constate que l’on peut travailler avec la nouvelle variable X =x4 qui donne dX =4x dx3 .
On a alors :
( ) ( )
( )
3 3
4 4 3
4 3
3 2
2
3 2
1 1
1 1 4
1 3 3 1
4
1 1
3 3
4
1 1 3
3 ln
4 3 2
x x x
dx dx
x x
X dX
X
X X X
X dX
X X dX
X
X X X X K
− −
=
= −
− + −
=
⎛ ⎞
= ⎜⎝ − + − ⎟⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎝ − + − ⎟⎠+
∫ ∫
∫
∫
∫
On revient alors à la variable initiale en remplaçant X par x4 :
(
4)
3 12 8 4( )
412 8 4
1 1 3 3 1
12 8 4 4ln
1 3 3
12 8 4 ln
x
dx x x x x K
x
x x x x K
− = − + − +
= − + − +
∫
On retrouve le résultat obtenu avec la méthode précédente.
Résultat final
(
4 1)
3 1 12 3 8 3 412 8 4 ln
x dx x x x x K
x
− = − + − +
∫
Où K est une constante réelle quelconque.
