Correction des exercices sur le logarithme népérien Ex 89 et 90 p 110.
Exercice 89.
Soit f est la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = x ln x – x + 1.
Déjà fait : Conditions d’existence : x > 0 donc Df = ] 0 ; + ∞ [.
1. f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ et c’est une forme (uv)’ = u’ v – u v’.
u(x) = x et v(x) = ln x.
On a donc u’(x) = 1 et v’(x) = 1
x donc f ’ (x) = 1 ln x + x 1
x – 1 = ln x + 1 – 1
= ln x donc f est décroissante sur ] 0 ; 1 [ et croissante ] 1 ; + ∞ [.
2. f(1) = 1 ln 1 – 1 + 1 = 0 donc f(1) est un minimum pour f sur ] 0 ; + ∞ [ donc f(x) ≥ 0 sur ] 0 ; + ∞ [.
Pour le vérifier, traçons le graphe de la fonction sur une calculatrice :
Exercice 90.
Soit f est la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = x2 – 8x + 8 + 6 ln x.
Déjà fait : Conditions d’existence : x > 0 donc Df = ] 0 ; + ∞ [.
1. f est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.
f ’ (x) = 2x – 8 + 6 1x = 2x2−8x+6
x = 2 x2−4x+3
x est du signe du signe de x2 – 4x – 3.
= b2 – 4 ac = (– 4)2 – 4 3 1 = 16 – 12 = 4
donc x = 4−2
2 = 1 ou x = 4+2 2 = 3
x 0 1 3 + ∞
x2−4x+3 + 0 – 0 +
x + ⋮ + ⋮ +
f '(x) + ⋮ – ⋮ +
f est donc croissante sur ] 0 ; 1 [ ] 3 ; + ∞ [ et décroissante sur ] 1 ; 3 [.
2.
f(1) = 12 – 8 1 + 8 + 6 ln 1 = 1 – 8 + 8 + 0 = 1 et f(3) = 32 – 8 3 + 8 + 6 ln 3 = – 7 + 6 ln 3.
