89 p 138 1° f(1)(x) = 1x

89 p 138 1° f⁽¹⁾(x) =

1

x× x – 1 × ln x

x² = 1 – ln x x² f⁽²⁾(x) =

1

x× x² – 2 x × (1 – ln x)

x⁴ = 1 – 2 (1 – ln x)

x³ = – 1 + ln x x³ 2° a)

Initialisation : Pour tout réel x > 0, f⁽¹⁾(x) = 1 – ln x

x² = U₁ – V1 ln x x² Hérédité :

Soit un entier k tel que pour tout réel x > 0 : f^(k)(x) = Uk + Vk ln x

x^k+1

Démontrons que f^(k+1)(x) = U_k+1 + V_k+1 ln x

x^k+2 avec U_k+1 = V_k – (k + 1) U_k et V_k+1 = – (k + 1) V_k



u(x) = Uk + Vk ln x et u'(x) = V_k x v(x) = x^k+1 et v'(x) = (k + 1) x^k

donc f^(k+1)(x) = V_k

x × x^k+1 – (k + 1) x^k (Uk + Vk ln x) x^2k+2

= x^k Vk – x^k (k + 1) (Uk + Vk ln x)

x^k+2 × x^k = x^k (Vk – (k + 1) Uk – (k + 1) Vk ln x)

x^k+2 × x^k = Vk – (k + 1) Uk – (k + 1) Vk ln x x^k+2

On a bien Uk+1 = Vk – (k + 1) Uk et Vk+1 = – (k + 1) Vk

b) V1 = – 1, V2 = – 2 × (– 1) = 2, V3 = – 3 × 2 = – 3 !, V4 = – 4 × (– 3 !) = 4 ! Il semble que pour tout entier naturel n V_n = (– 1)ⁿ n !

Démontrons le par récurrence : Initialisation : (– 1)¹ 1 ! = – 1 = V1 hérédité.

Considérons un entier k tel que Vk = (– 1)^k k ! et démontrons que Vk+1 = (– 1)^k+1 (k +1) ! Vk+1 = – (k + 1) × Vk = – (k + 1) × ((– 1)^k k !) = (– 1)^k+1 (k + 1) × k ! = (– 1)^k+1 (k + 1) ! Conclusion

pour tout entier naturel n V_n = (– 1)ⁿ n ! c) Initialisation : (– 1)¹⁺¹ × 1 ! × 1 = 1 = U1 Hérédité

Considérons un entier k tel que U_k = (– 1)^k+1 k !





 1 + 1 

2 + … 1 k Démontrons qu'alors U_k+1 = (– 1)^k+2 (k + 1) !





 1 + 1 

2 + … 1 k + 1 Uk+1 = Vk – (k + 1) Uk = (– 1)^k k ! – (k + 1) × (– 1)^k+1 k !





 1 + 1 

2 + … 1 k

= (– 1)^k+2 × (k + 1) ! 



 ( – 1)^k k !

( – 1)^k+2 (k + 1) ! – (– 1)^k+1× (k + 1) × k ! (– 1)^k+2 (k + 1) ! × 

 1 + 1 

2 + … 1 k

= (– 1)^k+1 × (k + 1) ! 



 1

k + 1 +





 1 + 1 

2 + … 1

k = (– 1)^k+2 (k + 1) !





 1 + 1 

2 + … 1 k + 1 Conclusion

Pour tout entier naturel n U_n = (– 1)ⁿ⁺¹ n !





 1 + 1 

2 + … + 1 n 3° V₇ = (– 1)⁷× 7 ! = – 5040 et U₇ = (– 1)⁸× 8 ! ×

 1 + 1 

2 + … + 1

7 = 104544 f⁽⁷⁾(x) = 104544 – 5040 ln x

x⁸