Correction des exercices sur le logarithme népérien Ex 51, 55 et 58 p 111
Exercice 51.
Résolvons l’équation ln(1 + 3x) = ln(x + 1).
Conditions d’existence : 1 + 3x > 0 et x + 1 > 0 c’est-à-dire 3x > – 1 et x > – 1 c’est-à-dire x > – 1
3 et x > – 1 donc D = ] – 1
3 ; + ∞ [.
On utilise la propriété ln a = ln b a = b.
donc l’équation devient 1 + 3x = x + 1
2x = 0
x = 0 or 0 ] – 1
3 ; + ∞ [ donc s = { 0 }.
Exercice 55.
Résolvons l’équation ln(4 – x) = 0.
Conditions d’existence : 4 – x > 0 c’est-à-dire 4 > x donc D = ] – ∞ ; 4 [.
On utilise la propriété ln a = ln b a = b et le fait que ln(1) = 0 donc l’équation devient 4 – x = 1
4 – 1 = x
x = 3 or 3 ] – ∞ ; 4 [ donc s = { 3 }.
Exercice 58.
Résolvons l’équation ln(2x + 1) + ln(x – 3)= ln(x + 5).
Conditions d’existence : 2x + 1 > 0 et x – 3 > 0 et x + 5 > 0 c’est-à-dire x > 1
2 et x > 3 et x > – 5 donc D = ] 3 ; + ∞ [.
On utilise les propriétés :
• ln a = ln b a = b et le fait que ln(1) = 0
• ln(a b) = ln a + ln b
donc l’équation devient :
ln[(2x + 1) (x – 3)]= ln(x + 5) en utilisant la deuxième propriété (2x + 1) (x – 3)= x + 5 en utilisant la première propriété
2x2 – 6x + x – 3 = x + 5 2x2 – 6x – 8 = 0
1x2 – 3x – 4 = 0
= b2 – 4 a c
= (– 3)2 – 4 1 (– 4) = 9 + 16
= 25
donc x = −b–√Δ
2a = – 1 ou x = −b+√Δ 2a = 4 or 4 ] 3 ; + ∞ [
mais – 1 ] 3 ; + ∞ [
donc s = { 4 }.
