Exercices sur la fonction logarithme népérien - Corrigé
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Texte intégral
(2) Lycée Secondaire El Ksour Année Scolaire 2013-2014. b) En déduire que sur l’intervalle Sur l’intervalle. , C est au dessus de C’ d’où. Sur l’intervalle. MN. c) Résoudre dans. .. est positive et donc représente la distance MN. .. Le résultat précédent montre que. On pose. , la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour. admet un maximum en. et que ce maximum vaut .. , l’équation. .. donc le polynôme a deux racines On en déduit que. et. .. et. d) En déduire que sur. , il existe deux réels. et. pour lesquels la distance MN est. égale à 1. donc représente la distance MN.. ki. ,. D’après la question précédente, il existe deux valeurs. aa. Ch. et. 2) a) On admet que. (vous pouvez le démontrer par une intégration par parties).. et. . On a. B. ouz. On pose. telles que MN=1.. our. On a donc. et. aou. Sur. b) Vérifier que la fonction G définie sur fonction. sur. par. .. c) On considère la partie du plan délimitée par les courbes C et C’ et les droites d’équations. et. .. Déterminer l’aire , en unité d’aire, de cette partie du plan.. Donc. . Soit : .. est une primitive de la.
(3) Lycée Secondaire El Ksour Année Scolaire 2013-2014. On considère la fonction. définie sur. 1) Montrer que la fonction La fonction. par. .. est dérivable sur. .. est strictement positive sur. définie et dérivable sur. et dérivable sur. ainsi que la fonction. donc. comme quotient de fonctions dérivables.. Étudier le signe de sa fonction dérivée. Quelque soit Or. , donc si. donc ,. a le même signe que. et. est strictement décroissante.. ki. Sa limite éventuelle en alors. aa. Ch. Quand. aou. On pose. B. ouz. 0. our. Dresser le tableau de ses variations.. 0. 2) On définit la suite a) Justifier que, si La fonction. par son terme général. .. , alors. .. est strictement décroissante sur. donc :. . b) Montrer, sans chercher à calculer. En intégrant sur. , que pour tout entier naturel ,. , on conserve l’ordre de l’inégalité. D’où :. est bien.
(4) Lycée Secondaire El Ksour Année Scolaire 2013-2014. c) En déduire que la suite. 3) Soit. est convergente et déterminer sa limite.. la fonction définie sur. a) Justifier que. par. est dérivable et déterminer , pour tout réel positif , le nombre. La fonction. et. par composition la fonction. est dérivable sur est dérivable sur. et la fonction. .. est dérivable sur. .. b) On pose pour tout entier naturel ,. . Calculer. 4) On pose pour tout entier naturel ,. . Calculer. . La suite. Ch. aou. ki. convergente ?. est divergente.. our. aa. La suite. Partie A. définie sur l’intervalle. B. On considère la fonction. ouz. ExerciceN°2. 1) Déterminer les limites de la fonction. en 0 et en. 2) Étudier le sens de variation de la fonction. Sur l’intervalle. donc 0. donc. par. .. .. puis dresser son tableau de variations.. est strictement croissante.. est-elle.
(5) Lycée Secondaire El Ksour Année Scolaire 2013-2014. 3) Montrer que l’équation. admet une solution unique. encadrement du nombre. à. dans l’intervalle. . Donner un. près.. Donc l'équation. admet une solution unique. et. donc. dans l’intervalle (encadrement à. . .. Partie B Le plan est muni d’un repère orthonormal. .. On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative d’équation. . On note. le point d’intersection de la courbe. de la fonction. , ainsi que la droite. et de la droite .. On considère l’aire, en unité d’aire, notée , de la partie du plan située au dessus de l’axe des abscisses et au dessous de la courbe. et de la droite .. 1) Déterminer les coordonnées du point . L’abscisse. du point. est solution de l’équation. Donc d’après la question A-3). .. .. Ch. 2) Soit. aou. ki. Donc. a) Donner une interprétation géométrique de .. la courbe représentative de. est l’aire, exprimée en unité d’aire, comprise entre l’axe des abscisses,. aa. et donc. et les droites d’équations. our. alors. b) Vérifier que la fonction. ouz. Si. définie sur. et. .. par. est une primitive de la fonction. B. logarithme népérien. En déduire la valeur de en fonction de α. . Donc. est une primitive de la fonction. c) Montrer que peut aussi s’écrire . D’après la question B1, donc 3) Calculer l’aire. en fonction de .. sachant que. ..
(6) Lycée Secondaire El Ksour Année Scolaire 2013-2014. ExerciceN°3 1) On considère la fonction. définie sur. par. .. On donne ci-dessous le tableau de variations de . 0. 2,3. 2,4 0. Démontrer toutes les propriétés de la fonction La fonction. est définie sur. définie sur. regroupées dans ce tableau.. et la fonction. est définie pour. donc. est. .. Ces deux fonctions sont dérivables sur. donc la somme donc la fonction. .. est strictement croissante.. Ch. aou. ki. sur l’intervalle. est aussi dérivable sur. admet une solution unique. aa. Donc l'équation. a) Montrer que. ouz. définie sur. par. où. un réel. Pour. est de la forme. est le réel apparaissant dans le tableau de variations ci-dessus.. et de l’axe des abscisses,. donc. , exprimer avec. 3) On a tracé dans un repère orthonormal notées respectivement. .. .. . Or d’après la question 1). b) Soit. (encadrement à. .. B. 2) Soit la fonction. donc. our. et. dans l’intervalle. et. et. en fonction de . et. . Une primitive de u’.u est de la forme. ci-dessous les courbes représentatives des fonctions. . On appelle le point de coordonnées le point de. ayant même abscisse que. , et. et. le point d’intersection de le projeté orthogonal de. sur. l’axe des ordonnées. On nomme. le domaine du plan délimité par la courbe. et les segments. et. On nomme. le domaine du plan délimité par le rectangle du plan construit à partir de. . et. ..
(7) Démontrer que les deux domaines. et. aou. ki. Lycée Secondaire El Ksour Année Scolaire 2013-2014. ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de. a pour abscisse. et pour ordonnée. Or. et pour abscisse 0.. B. ouz. a pour ordonnée. . donc. On sait que. 1,736 Donc. .. aa. a aussi pour abscisse. et pour ordonnée 0.. our. D’après la question 1,. Ch. cette aire.. (encadrement à 0,2 près).
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