PanaMaths Décembre 2001
Déterminer :
3
1 2cos( )
lim 3
x
x
π
π x
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− −
Analyse
Comme nous avons 1
cos 3 2
⎛ ⎞ =π
⎜ ⎟⎝ ⎠ , il vient :
( )
3
lim 1 2 cos( ) 0
x π x
→
− = . Par ailleurs, on a clairement :
( )
3
lim 3 0
x π π x
→
− = . Nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type
« 0
0 ». L’idée consiste ici à faire apparaître une limite connue en 0 en posant
x= +π3 h .
Résolution
Nous allons donc considérer la fonction f définie par : 1 2 cos
( ) 3
f x x π x
= −
− .
Posons :
x= +π3 h. On a alors :
0 3
lim ( ) lim 3
x h
f x f h
π
π
→ →
⎛ ⎞
= ⎜⎝ + ⎟⎠.
On a :
1 2 cos 3
3 3
3
1 2 cos cosh sin sinh
3 3
3
1 3
1 2 cos sin
2 2
3 1 cos 3 sin
3 h
f h
h
h
h h
h
h h
h π π
π π
π π
⎛ ⎞
− ⎜ + ⎟
⎛ + ⎞= ⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎝ ⎠ − ⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞
− ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎠
= −
⎛ ⎞
− ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
= −
− +
= −
PanaMaths Décembre 2001
En utilisant 1 cos 2 sin2 2
h ⎛ ⎞h
− = ⎜ ⎟⎝ ⎠, on obtient alors :
2
2
2
2
2
2
1 cos 3 sin
3 3
2 sin 3 sin
2 3
2 sin 2 3 sin
3 3
sin 2 1 sin
6 3
2
sin 2 1 sin
6 3
2
h h
f h
h
h h
h h
h h
h h
h
h h
h h
h
h h
h h
π − +
⎛ + ⎞=
⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
⎛ ⎞ +
⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
⎛ ⎞⎜ ⎟
= − ⎝ ⎠−
⎛ ⎞⎜ ⎟
= − ⎝ ⎠−
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟
= − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
De
0
sin 2
lim 1
2
h
h h
→
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, on tire :
2
0
sin 2
lim 0
6 2
h
h h
h
→
⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟ ⎟
⎜− ⎜ ⎟ ⎟=
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
.
D’où, finalement :
0
lim 1
3 3
h f π h
→
⎛ + ⎞= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Résultat final
3
1 2 cos 1
lim 3 3
x
x
π π x
→
⎛ − ⎞ = −
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
