PanaMaths Novembre 2013
Résoudre l’équation :
cos cos 3
3 2
x π x π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝
+
⎠=
⎝+
⎠On représentera sur le cercle trigonométrique les points correspondant aux solutions obtenues.
Analyse
Application de la méthode de résolution des équations de la forme cosx=cosa.
Résolution
Rappelons que l’on a : cosx=cosa⇔ = +x a 2kπ ou x= − +a 2kπ avec k∈].
Ici, on a donc : cos cos 3 3 2
3 2 3 2
x π x π x π x π kπ
⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞⇔ + = + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ou
3 2
3 2
x+ = −π ⎛⎜⎝ x+π⎞⎟⎠+ kπ
5 2
x= − 6π + kπ avec k∈]. Æ Résolution de : 3 2
3 2
x+ =π x+ +π kπ avec k∈].
On a :
3 2 ,
3 2
2 2 ,
2 3
2 2 ,
6 12 ,
' , ' 12
x x k k
x k k
x k k
x k k
x k k
π π π
π π π
π π
π π
π π
+ = + + ∈
⇔ − = − + ∈
⇔ − = + ∈
⇔ = − − ∈
⇔ = − + ∈
] ] ] ]
]
Sur l’intervalle
[
0 ; 2π[
, on obtient deux valeurs : 1112 12
π π π
− + = et 23
12 2 12
π π π
− + = .
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Æ Résolution de : 3 2
3 2
x+ = −π ⎛⎜⎝ x+π ⎞⎟⎠+ kπ avec k∈].
On a :
3 2 ,
3 2
4 2 ,
2 3
4 5 2 ,
6
5 ,
24 2
x x k k
x k k
x k k
x k k
π π π
π π π
π π
π π
⎛ ⎞
+ = −⎜⎝ + ⎟⎠+ ∈
⇔ = − − + ∈
⇔ = − + ∈
⇔ = − + ∈
] ] ] ]
Sur l’intervalle
[
0 ; 2π[
, on obtient quatre valeurs : 5 724 2 24
π π π
− + = , 5 19
24 24
π π π
− + = ,
5 3 31
24 2 24
π π π
− + = et 5 43
24 2 24
π π π
− + = .
D’où, les six angles mentionnés ci-dessus étant différents, les six points M1, M2, M3, M4, M5
et M6 du cercle trigonométrique correspondant respectivement aux angles 7 24
π , 19 24
π , 11 12
π ,
31 24
π , 43 24
π et 23 12
π :
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Résultat final
cos cos 3
3 2
x π x π
⎛ + ⎞= ⎛ + ⎞⇔
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ' , '
x= −12π +k π k ∈] ou 5 24 2 ,
x= − π +kπ k∈]
