0 cos 2 xdx . Indication : on pensera à exprimer cos 2 x en termes de cos 2x .

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

Math 218 Année 20082009

Corrigé du devoir surveillé du samedi 21 mars 2009 Ex 1. Révision

1) Calculer R 2π

0 cos ² xdx . Indication : on pensera à exprimer cos ² x en termes de cos 2x .

cos 2x = 2 cos ² x − 1 donc Z 2π

0

cos ² xdx = Z 2π

0

cos 2x 2 + 1

2 dx =

sin 2x 4 + 1

2 x 2π

0

= π.

2) Calculer R +∞

0 x exp (−x)dx .

On réalise l'intégration par parties u = x ( u ⁰ = 1 ), v ⁰ = exp (−x) ( v = − exp (−x) ) dans l'intégrale de Riemann R A

0 x exp (−x)dx : R A

0 x exp (−x)dx = [x(− exp (−x)] ^A ₀ − R A

0 − exp (−x)dx

= −A exp (−A) + [− exp (−x)] ^A ₀ = −A exp (−A) − exp (−A) + 1,

ce qui tend vers 1 lorsque A tend vers +∞ . Donc l'intégrale généralisée R +∞

0 x exp (−x)dx est convergente et égale à 1.

3) Donner les deux premiers termes du développement limité de cos x et de ln (1 + x) autour de x = 0 . Utiliser ces résultats pour calculer

n→∞ lim

cos 1 n

n

.

On a cos x = 1 − x ² /2 + o(x ² ) , ln (1 + x) = x − x ² /2 + o(x ² ) et

cos 1 n

n

= exp

n ² ln

cos 1

n

.

cos ¹ _n = 1 − _2n ¹

+ o _n ¹

, d'où en composant avec le développement limité de ln(1 + x) à l'ordre 2 :

ln

cos 1

n

= − 1 2n ² − 1

2

− 1 2n ²

2

+ o 1

n ²

= − 1 2n ² + o

1 n ²

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(le composée de deux développements limités d'ordre 2 est un développement limité d'ordre 2). On en déduit

n→+∞ lim n ² ln

cos 1

n

= − 1 2 , d'où

n→∞ lim

cos 1 n

n

= exp

− 1 2

.

4) Calculer la dérivée et la seconde dérivée de la fonction f (x) = cosh(sin x) . f étant la composée des fonctions cosh et sin , on obtient :

f ⁰ (x) = (sin) ⁰ (x)(cosh) ⁰ (sin x) = cos x sinh(sin x)

et f ⁰⁰ (x) = (cos x) ⁰ sinh(sin x) + cos x(sinh(sin x)) ⁰

= − sin x sinh(sin x) + cos x(sin x) ⁰ (sinh) ⁰ (sin x)

= − sin x sinh(sin x) + cos ² x cosh(sin x).

Ex 2.

1) Dénitions

(i) Que signie la série de terme général u n converge ? Qu'entend-on alors par la somme de la série ?

On dit que la série de terme général u _n converge si la suite des sommes partielles S N = P N

k=n

u n (pour u n déni à partir de n 0 ) admet une limite nie lorque N tend vers +∞ . La somme de la série est alors cette limite nie.

(ii) Que signie la série de terme général u _n converge absolument ? On dit que la série de terme général u n converge absolument si la série de terme général |u _n | converge.

(iii) Qu'est-ce que le rayon de convergence d'une série entière ?

Pour une série entière de terme général a n z ⁿ , le rayon de convergence R est l'unique élément de R + = R + ∪ {+∞} tel que

- si |z| < R , la série entière converge ; - si |z| > R , la série entière diverge.

2) Vrai ou Faux (justier ou donner un contre-exemple)

(i) Si lim _n→∞ |u _n | = 0 , alors la série de terme général u _n est convergente.

Faux. Contre-exemple : u _n = 1/n tend vers 0 mais c'est le terme général d'une série de Riemann divergente.

(ii) Si la série de terme général positif a _n converge, alors la série de terme général a _n tanh n converge absolument.

Vrai car | tanh n| = _cosh ^{sinh n} _n

=

e

−e

e

+e

≤ 1 donc |a _n tanh n| ≤ a _n , terme général d'une série convergente, donc d'après le critère de comparaison des séries à terme général positif, la série de terme général |a _n tanh n| est convergente.

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Semestre 4 M218 200809

Ex 3. Déterminer la nature des séries de terme général 1) u n = (sin n)

q ln (1+1/n

) ln(n) n

ln (1 + 1/n ² ) ∼ 1/n ² donc q

ln (1+1/n

) ln(n)

n ∼

√ ln n

n

lorsque n → ∞ . Par conséquent, n ^5/4

r ln (1 + 1/n ² ) ln(n)

n ∼

√ ln n

n ^1/4 −→ 0 lorsque n → ∞ , donc

r ln (1 + 1/n ² ) ln(n)

n ≤ 1/n ^5/4

(pour n assez grand), terme général d'une série de Riemann convergente. Comme

|u _n | ≤

r ln (1 + 1/n ² ) ln(n)

n ,

on en déduit par le critère de comparaison des séries à terme général positif que la série de terme général u _n converge absolument, donc converge.

2) u _n = 2 + _n ¹ n 1

n! , n ≥ 2 .

2 + _n ¹ ≤ 3 donc u _n ≤ ³ _n!

. On applique le critère de d'Alembert à la série de terme général 3 ⁿ /n! :

3 ⁿ⁺¹ (n + 1)!

n!

3 ⁿ = 3

n + 1 −→ 0 < 1

lorsque n → ∞ , donc la série de terme général 3 ⁿ /n! est convergente et par le critère de comparaison des séries à terme général positif, la série de terme général u _n aussi.

Autre méthode : on utilise le critère de d'Alembert : u _n+1

u _n = 2 + _n+1 ¹ n+1

2 + ¹ _n n × n!

(n + 1)! =

2n+3 n+1

n+1

2n+1 n

n × 1 n + 1 =

n n + 1

n

×

2n + 3 2n + 1

n

× 2n + 3 (n + 1) ² Or _n+1 ⁿ n

= exp (n ln (1 + 1/(n + 1))) −→ e et ²ⁿ⁺³ _2n+1 n

= exp (n ln (1 + 2/(2n + 1))) −→

e lorsque n tend vers +∞ , donc u _n+1 /u _n tend vers 0, donc la série est convergente.

3) u _n = 3 ⁻ⁿ (n ² + n − 1) .

u _n ≥ 0 ; on applique le critère de d'Alembert : u _n+1

u _n = 3 ⁻ⁿ⁻¹ 3 ⁻ⁿ

(n + 1) ² + (n + 1) − 1

n ² + n − 1 −→ 1 3 < 1 lorsque n → ∞ , donc la série est convergente.

Ex 4. Montrer que la série dont les termes sont dénis par

u _n = 2 ⁿ si 0 ≤ n ≤ 4, u _n = 1

(n − 3)(n − 4) si n ≥ 5

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est convergente et calculer sa somme.

Pour N ≥ 5 ,

S _N =

N

X

n=0

u _n = 2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ +

N

X

n=5

1

(n − 3)(n − 4) = 31 +

N

X

n=5

1

(n − 3)(n − 4) .

Or _{(n−3)(n−4)} ¹ = − _n−3 ¹ + _n−4 ¹ (décomposition en éléments simples) et

N

X

n=5

− 1

n − 3 + 1

n − 4 = 1 − 1

N − 3 −→ 1

lorsque N → ∞ (série télescopique). On en déduit que la série est convergente, de somme 31 + 1 = 32 .

Ex 5. (i) Déterminer le rayon de convergence de la série entière P a _n z ⁿ

a _n = 1

(2n + 1)!! , ((2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 · . . . · (2n + 1))

On utilise le critère de d'Alembert :

a _n+1 a _n

= (2n + 1)!!

(2(n + 1) + 1)!! = 1 · 3 · 5 · . . . · (2n + 1)

1 · 3 · 5 · . . . · (2n + 1)(2n + 3) = 1

2n + 3 −→ 0 lorsque n → ∞ , donc le rayon de convergence est +∞ , c'est-à-dire que la série entière converge pour tout complexe z .

(ii) Soit (a _n ) n≥0 une suite de nombres complexes telle que la série P

a _n (−5) ⁿ converge mais la série P

a _n 9 ⁿ diverge. Est-ce vrai que le rayon de convergence R de la série P

a n z ⁿ vérie 5 ≤ R ≤ 9 ? Justier la réponse.

Si on avait R < 5 , on aurait | − 5| > R , donc la série P

a _n (−5) ⁿ serait divergente d'après la dénition du rayon de convergence R .

Si on avait R > 9 , on aurait |9| < R , donc la série P

a n 9 ⁿ serait convergente d'après la dénition du rayon de convergence R .

Cela montre par l'absurde que 5 ≤ R ≤ 9 .

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