PanaMaths Novembre 2013

PanaMaths Novembre 2013

Soit α dans 0 ; 2 π

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣

tel que : cos 2 3 α = ⁺ 2 .

1. Calculer ^{cos 2} ( ) ^α puis en déduire la valeur de α . 2. Résoudre l’équation : cos 2 3

x = + 2 .

Analyse

La première question permet de reconnaître dans 2 3 2

+ le cosinus d’un angle « de référence ». La deuxième question est alors une application classique du cours.

Résolution

Question 1.

Comme ^{cos 2}

( )

( )

( )

2

2 3 2 3 2 3 3

cos 2 2 1 2 1 1 cos

2 4 2 2 6

α = ×^⎛⎜ ^{+ ⎞}⎟ − = × ⁺ − = ⁺ − = = π

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On a : 0

2 α π

< < et donc : 0<2α π< . On a alors :

( )

cos 2 cos

6 2

6 12

0 2

α π α π α π

α π

⎧ =

⎪ ⇔ = ⇔ =

⎨⎪ < <

⎩

Finalement :

2 3

cos 2

12

0 2

α α π

α π

⎧ +

⎪ =

⎪ ⇔ =

⎨⎪ < <

⎪⎩

PanaMaths Novembre 2013 Question 2.

En utilisant le résultat de la question précédente, on a classiquement :

2 3

cos cos cos 2

2 12 12

x= ⁺ ⇔ x= π ⇔ =x π + kπ ou 2

x= −12π + kπ avec k∈

L’ensemble des solutions de l’équation 2 3 cosx= +2 est :

2 , 2 ,

12π kπ k 12π kπ k

⎧ + ∈ ⎫ ⎧− + ∈ ⎫

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩∪ ⎭