PanaMaths Novembre 2014
Soit A dans M
n( ) \ vérifiant : A−1= A . 1. A est-elle diagonalisable ?
2. Calculer
0
!
A k
k
e A
k
+∞
=
= ∑ .
Reprendre les questions précédentes en supposant que A est dans
( )
n
^
M et vérifie A
−1= − A .
Analyse
Dans les deux situations, on dispose facilement d’un polynôme annulateur de A …
Résolution
Question 1.
Comme la matrice A vérifie l’égalité A−1=A, on a A2 =In et le polynôme P X
( )
= X2−1est un polynôme annulateur de A. Comme P est un polynôme scindé à racines simples dans
\ (P X
( ) (
= X +1)(
X −1)
), on peut donc conclure que la matrice A est diagonalisable.La matrice A est diagonalisable.
Question 2.
En tenant compte de A2 =In, on a immédiatement :
( ) ( )
2 2 2 1 2
, k k n k n puis k k n
k A A I I A + A A I A A
∀ ∈` = = = = × = × =
Il vient alors :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1
0 0 0
0 0
! 2 ! 2 1 ! 2 ! 2 1 !
1 1
cosh 1 sinh 1
2 ! 2 1 !
k k k
A n
k k k
n n
k k
I
A A A A
e k k k k k
I A I A
k k
+∞ +∞ + +∞
= = =
+∞ +∞
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = ⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠
= × + × = × + ×
+
∑ ∑ ∑
∑ ∑
PanaMaths Novembre 2014
On a donc :
( ) ( )
cosh 1 sinh 1
A
e = × +In ×A
On suppose maintenant que la matrice A est un élément de
M
n( )
^ et vérifie A−1= −A. Comme la matrice A vérifie l’égalité A−1= −A, on a A2 = −In et le polynôme P X( )
=X2+1est un polynôme annulateur de A. Comme P est un polynôme scindé à racines simples dans ^ (P X
( ) (
= X +i)(
X −i)
), on peut donc conclure que la matrice A est diagonalisable.La matrice A est diagonalisable.
En tenant compte de A2 = −In, on a immédiatement :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 1 2
, k k n k 1 k n puis k k 1 k n 1 k
k A A I I A + A A I A A
∀ ∈` = = − = − = × = − × = −
Il vient alors :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 1
0 0 0
0 0
1 1
! 2 ! 2 1 ! 2 ! 2 1 !
1 1
cos 1 sin 1
2 ! 2 1 !
k k
k k k
n A
k k k
k k
n n
k k
I A
A A A
e k k k k k
I A I A
k k
+∞ +∞ + +∞
= = =
+∞ +∞
= =
⎛ ⎞
⎛ ⎞ − −
= = ⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠
− −
= × + × = × + ×
+
∑ ∑ ∑
∑ ∑
On a donc cette fois :
( ) ( )
cos 1 sin 1
A
e = × +In ×A
