PanaMaths Novembre 2013
1. Développer
⎛⎜3 2
⎞⎟2⎝
−
⎠.
2. Résoudre dans , l’équation : 4sin
2x 2
⎛⎜2 3 sin
⎞⎟x 6 0
⎝ ⎠
− + + = .
Analyse
Pour la résolution de l’équation, on effectuera un changement de variable pour se ramener à une équation du second degré « classique ».
Résolution
Question 1.
On a immédiatement :
(
3− 2)
2 = 32+ 22− ×2 3× 2 = + −3 2 2 6= −5 2 6(
3− 2)
2= −5 2 6Question 2.
Nous commençons par nous ramener à une équation du second degré en posant X =sinx. On ne retiendra donc que les solutions appartenant à l’intervalle
[
−1; 1]
.L’équation se récrit : 4X2−2
(
2+ 3)
X + 6=0.Le discriminant associé vaut :
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 3 4 4 6 4 2 3 16 6
4 2 3 2 2 3 16 6 4 2 3 2 6 16 6
20 8 6 16 6 20 8 6 4 5 2 6
⎡ ⎤
Δ = −⎣ + ⎦ − × × = + −
= + + × × − = + + −
= + − = −
= −
PanaMaths Novembre 2013
D’après la question précédente, 5 2 6− =
(
3− 2)
2 et comme 3> 2, il vient immédiatement : Δ = 4 5 2 6(
−)
=2 5 2 6− =2(
3− 2) (
2 =2 3− 2)
.Les solutions dans de l’équation 4X2−2
(
2+ 3)
X+ 6 =0 sont donc :( ) ( )
( ) ( )
1
2
2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 4 2 2
2 4 2 4 2 4 2
2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 4 3 3
2 4 2 4 2 4 2
X
X
+ − − + − +
= = = =
× × ×
+ + − + + −
= = = =
× × ×
Ces deux valeurs appartiennent bien à l’intervalle
[
−1 ; 1]
et on doit désormais résoudre les deux équations : 2sinx= 2 et 3 sinx= 2 .
sin 2 sin sin
2 4
2 ou 2 ,
4 4
2 ou 3 2 ,
4 4
x x
x k x k k
x k x k k
π
π π π π π
π π π π
= ⇔ =
⇔ = + = − + ∈
⇔ = + = + ∈
sin 3 sin sin
2 3
2 ou 2 ,
3 3
2 ou 2 2 ,
3 3
x x
x k x k k
x k x k k
π
π π π π π
π π π π
= ⇔ =
⇔ = + = − + ∈
⇔ = + = + ∈
Finalement :
L’ensemble des solutions de l’équation 4 sin2x−2
(
2+ 3 sin)
x+ 6=0 est :3 2
2 , 2 , 2 , 2 ,
4 k k 4 k k 3 k k 3 k k
π π π π π π π π
⎧ + ∈ ⎫ ⎧ + ∈ ⎫ ⎧ + ∈ ⎫ ⎧ + ∈ ⎫
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩∪ ⎭ ⎩∪ ⎭ ⎩∪ ⎭
