Équation du second degré

Équation du second degré

I) Définition

Une équation du second degré est de la forme :

² avec a  0 .

II) Discriminant

Le réel

²

∆

On a donc . = ^² ∆ _.

Exemples :

• Calculer le discriminant de 3 ² – 5 1 : Réponse :





• Calculer le discriminant de ² – 3 : Réponse :



• Calculer le discriminant de 1

2



III) Equation du second degré : a x ² + b x + c = 0 avec a  0

Soit ² un polynôme du second degré (a 0) et

 =

²

L’existence de solutions pour l’équation ² et la factorisation du polynôme dépendent du signe de  :

Si  > 0 Si  = 0 Si  < 0 l’équation

² admet

deux solutions distinctes dans IR :

√ et

√

Le trinôme se factorise de la façon suivante :

– –

l’équation

² admet

une solution unique dans IR :

Le trinôme se factorise de la façon suivante :

– ²

l’équation

² n’admet

pas de solution dans IR

n’est pas factorisable en produit de facteurs du premier degré à

coefficients réels.

Remarques :

 On appelle racine du polynôme ² toute solution de l’équation : ² 0 .

 Lorsque l’équation admet une solution unique , c’est-à-dire lorsque  = 0 , on dit que est une solution double, car elle a deux fois la même solution et

= a ( – ) ² . Exemples :

Déterminer si les polynômes suivants admettent des racines ; si oui en donner une factorisation.

1) ² – – 6 ;

2) 5 ² – 40 35 ;

3) 9 ² – 6 1 ;

4) ² – 1 ;

Réponses :

• Pour :



le polynôme admet 2 racines – 2 et 3 , on a donc : 2 – 3 ;

• Pour :

Tout d’abord factorisons par 5 : 5 8 7



le polynôme admet 2 racines : 1 et 7 , on a donc : 5 – 1 – 7 ;

• Pour :



le polynôme admet une racine , on a donc : = 9 ( – 1

3 )² ;

• Pour j :



le polynôme n’admet aucune racine dans et n’est pas factorisable.

IV) Interprétation graphique

Soit ² un polynôme du second degré ( 0) et =

²

Si  > 0

Si  = 0

Si  < 0