PanaMaths Février 2012
On considère une variable aléatoire réelle X suivant la loi binomiale de paramètres n et p.
On définit la variable aléatoire réelle Y par : Y 1
= + 1 X . Calculer l’espérance E Y de Y. ( )
Analyse
Un exercice d’application directe du théorème de transfert.
Résolution
D’après le théorème de transfert, on a :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )
( )
( )0 0
0 0
0 0
1 1 1
1
1 1
E Y 1
1 1
1 ! !
1 1
1 ! ! 1 ! !
11 1 ! 1 1 1 1
1 1
1 ! 1 1 !
1 1 1
1 1
n n
k n k
k k
n n
n k n k
k k
k k
n n
n k n k
k k
k k
n k n k
k
p X k n p p
k
k k
n n
p p p p
k k n k k n k
n n
n p p p p
k n
k n k
n p p
k
n n
−
= =
− −
= =
− −
= =
+ − − −
=
= + × = = + ×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ −
= × − = −
+ × − + × −
+ ⎛ + ⎞
= + ×+ + − + − = + ⎜⎝ + ⎟⎠ −
⎛ + ⎞
= + ⎜⎝ ⎟⎠ − = +
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1
1
1 1 1
0
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1
1 1
1
n k n k
k
n k n k n
k
n
n p p
k p
n p p p
k
n p
p
n p
+ + −
=
+ + − +
=
= +
⎛ + ⎞ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤
⎢ ⎛ + ⎞ ⎥
= + ⎢⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ − − − ⎥⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − − +
∑
∑
PanaMaths Février 2012
Résultat final
( ) ( )
( )
1 1 1
E Y 1
p n
n p
− − +
= +
