PanaMaths Novembre 2017

PanaMaths Novembre 2017

Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie.

Soit H et K deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E et

( e e

1

,

2

,..., e

_k

) une base de K.

1. Montrer que : ∀ ∈ a H, K

_a

= Vect ( e

1

+ a e ,

2

+ a , ..., e

_k

+ a ) est un supplémentaire de H dans E.

2. Montrer que : ∀ ( ) a b ^, ∈ ^{H ,}

²

a ≠ ⇒ b ^K

^a

≠ ^K

b

.

Analyse

Un exercice qui illustre spectaculairement le fait qu’un supplémentaire n’est en rien unique et qui donne, plus spécifiquement, un moyen simple d’en « fabriquer » autant qu’on le souhaite ! On utilise plusieurs fois le fait qu’un sous-espace vectoriel et un supplémentaire de cet espace admettent une intersection réduite au vecteur nul.

Résolution

Question 1.

Soit a∈H.

Dans un premier temps, montrons que l’on a : ^{H∩Ka =}

{ }

^{0E .}

Soit x∈H∩K_a.

Comme K_a =Vect

(

e1+a e, 2+a, ...,e_k +a

)

alors il existe k scalaires α α₁, ₂, ...,α_k tels que :

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 ... _{k k}

x=

α

e +a +

α

e +a + +

α

e +a

On en tire : x−

( α α

1+ 2+ +...

α

_k

)

a=

α

1 1e +

α

2 2e + +...

α

_{k k}e .

Comme x et a sont deux vecteurs de H, il en va de même pour la combinaison linéaire

(

1 2 ... _k

)

x−

α α

+ + +

α

a et donc pour le vecteur α_{1 1}e +α_{2 2}e + +... α_{k k}e . Mais ce dernier est une combinaison linéaire des e_i et est donc un vecteur de K.

PanaMaths Novembre 2017

Ainsi, on en tire que α_{1 1}e +α_{2 2}e + +... α_{k k}e appartient à H∩K.

Or H et K sont supplémentaires dans E. Leur intersection est donc réduite au vecteur nul.

On a donc :

α

_{1 1}e +

α

_{2 2}e + +...

α

_{k k}e =0_E.

Mais comme

(

e e1, 2, ...,e_k

)

est une base de K, l’égalité

α

_{1 1}e +

α

_{2 2}e + +...

α

_{k k}e =0_E entraîne

1 2 ... _k 0

α α= = =α = .

Il vient finalement : x=α1

(

e1+a

)

+α2

(

e2+a

)

+ +... α_k

(

e_k +a

)

=0E. On a bien : ^{H∩Ka =}

{ }

^{0E .}

Il convient maintenant de montrer que l’on a : H+K_a =E

Soit x un vecteur de E.

Comme H⊕ =K E, il existe un unique couple

(

xH,xK

)

de H K× tel que x=x_H+x_K. Il existe également un unique k-uplet de scalaires α α₁, ₂, ...,α_k tels que

K 1 1 2 2 ... _{k k}

x =αe +α e + +α e .

On a donc : x=x_H+x_K =x_H+α_{1 1}e +α_{2 2}e + +... α_{k k}e . Il vient alors :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

H 1 1 2 2

H 1 1 2 2 1 2

H 1 2 1 1 2 2

H K

...

... ...

... ...

a k k

k k k

k k k

x x e e e

x e a e a e a a a a

x a e a e a e a

α α α

α α α α α α

α α α α α α

∈ ∈

= + + + +

= + + + + + + + − − − −

=⎡⎣ − + + + ⎤ ⎡⎦ ⎣+ + + + + + + ⎤⎦

On a ainsi décomposé le vecteur x en la somme d’un vecteur de H et d’un vecteur de K_a. On a bien : H+K_a =E.

En définitive : H⊕K_a =E.

Le résultat étant obtenu pour n’importe quel vecteur a de E, on en conclut finalement :

Pour tout vecteur a de E, K_a est un supplémentaire de H dans E.

Remarque :

Pour la deuxième partie de la démonstration, comme la famille

{

e1+a e, 2+a, ...,e_k +a

}

comporte k=dim K vecteurs, on pouvait également montrer qu’il s’agissait d’une famille libre et, de fait, d’une base de K_a. E étant de dimension finie, on concluait à l’identique.

PanaMaths Novembre 2017 Question 2.

Nous allons en fait montrer ici la contraposée.

Soit donc a et b deux vecteurs de H.

Nous supposons : K_a =K_b, c'est-à-dire

(

^{1 2}

) (

^{1 2}

)

Vect e +a e, +a, ...,e_k +a =Vect e +b e, +b, ...,e_k +b

Soit Kx∈ _a alors il existe k scalaires α α₁, ₂, ...,α_k tels que :

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 ... _{k k}

x=

α

e +a +

α

e +a + +

α

e +a

Comme K_a =K_b, on a aussi x∈K_b alors il existe k scalaires β β₁, ₂, ...,β_k tels que :

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 ... _{k k}

x=

β

e +a +

β

e +a + +

β

e +a

On a donc :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 ... _{k k} 1 1 2 2 ... _{k k}

x=

α

e +a +

α

e +a + +

α

e +a =

β

e +a +

β

e +a + +

β

e +a

D’où :

(

α β1− 1

)

e1+

(

α2−β2

)

e2+ +...

(

α_k −β_k

)

e_k = −

(

α α1+ 2+ +... α_k

) (

a+ β β1+ 2+ +... β_k

)

b On a :

( α β

1− 1

)

e1+

( α

2−

β

2

)

e2+ +...

( α

_k −

β

_k

)

e_k∈K et

(

α α1 2 ... α_k

) (

a β β1 2 ... β_k

)

b H

− + + + + + + + ∈ .

Comme H⊕ =K E, on en déduit :

(

α β1− 1

)

e1+

(

α2−β2

)

e2+ +...

(

α_k −β_k

)

e_k = −

(

α α1+ 2+ +... α_k

) (

a+ β β1+ 2+ +... β_k

)

b =0 Comme

(

e e1, 2, ...,e_k

)

est une base de K, l’égalité

(

α β1− 1

)

e1+

(

α2−β2

)

e2+ +...

(

α_k −β_k

)

e_k =0E entraîne α β α₁− ₁= ₂−β₂ =α_k −β_k =0 et on a donc :

(

^{α α1+ 2+ +... αk}

) (

^b−a

)

^=0.

Le vecteur x ayant été choisi quelconque dans K_a, cette égalité est valable pour tout k-uplet

( α α

1, 2, ...,

α

_k

)

. Il en découle a=b. Finalement : K_a =K_b⇒ =a b. On a bien :

K_a K_b a≠ ⇒b ≠