PanaMaths Septembre 2014

PanaMaths Septembre 2014

Soit n réels ( n ≥ 2 ) a a

₁

,

₂

, … , a

_n

vérifiant : 1 < < a

₁

a

₂<

… < a

_n

.

1. Montrer que pour tout réel a strictement supérieur à a

_n

, il existe un unique réel x

_a

solution de l’équation :

1^x 2^x

...

_n^{x x}

a + + + a a = a

2. Pour a et b tels que a

_n

< < a b , comparer x

_a

et x

_b

. 3. Déterminer lim

_a

a_→+∞

x puis

_a

^lim

_→+∞

( ^x

^a

^{ln a} ) ^.

Analyse

L’exercice permet en fait d’étudier la solution strictement positive (le réel x_a) d’une équation en fonction de l’un de ses paramètres (le réel a). La dernière question permet, en particulier, d’obtenir le comportement asymptotique de cette solution.

Résolution

Question 1.

On a immédiatement :

1 2 1 2

1 2

... ... 1 ... 1

x

x x

x x x

x x x x n n

n x

a a a a a a

a a a a

a a a a

+ + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + = ⇔ = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜⎝ ⎟⎠ + +⎜⎝ ⎟⎠ =

Soit alors la fonction Φ_a définie sur ₊ par :

( )

^{1 x 2 x ... n x}

a

a

a a

x a a a

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜⎝ ⎟⎠ + +⎜⎝ ⎟⎠

La fonction Φ_a est continue sur ₊ comme somme de fonctions continues (en tant que fonctions exponentielles) sur cet intervalle.

Par ailleurs, la fonction Φ_a est continue sur ₊ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle et on a, pour tout réel x positif :

( )

^{1 1 2 2}

1

' ln ln ... ln ln

x x

x x n

n n i i

a

i

a a a a

a a a a

x a a a a a a ₌ a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Φ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× + ⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝× ⎟⎠ + + ⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝× ⎟⎠ =

∑

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠×

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Pour tout entier i dans 1 ;n , on a : 0 aⁱ 1

< a < et donc ln aⁱ 0

⎛ ⎞ <a

⎜ ⎟⎝ ⎠ . Par ailleurs, on a

également : 0

x

ai

⎛ ⎞ >a

⎜ ⎟⎝ ⎠ . On en déduit que chaque terme de la somme

1

ln

n x

i i

i

a a

a a

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞×

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

^est

strictement négatif et, finalement :

( )

1

' ln 0

n x

i i

a

i

a a

x ₌ a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Φ =

∑

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× < ^. La fonction Φ_a est donc strictement décroissante sur ₊.

On a : a

( )

^{0 1 0 2 0 ... n 0 1 1 ... 1 1}

a

a a

a a a n

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜⎝ ⎟⎠ + +⎜⎝ ⎟⎠ = + + + = > (par hypothèse sur n).

Comme, pour tout entier i dans 1 ;n , on a : 0 aⁱ 1

< a < , il vient lim 0

x i x

a

→+∞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠a et donc :

( )

1

lim lim ln 0 1

n x

i i

x a x

i

a a

x a a

→+∞ →+∞ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Φ =

∑

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠× = <

D’après ce qui précède, la fonction Φ_a définit une bijection de ₊ dans

]

^{0 ;n}

]

^{et comme}

0 1< <n, on en déduit finalement qu’il existe un unique réel x_a strictement positif solution de l’équation : Φa

( )

x =¹. Le résultat est ainsi établi.

L’équation a₁^x+a₂^x+ +... a_n^x =a^x admet une unique solution dans ^*₊.

Question 2.

Soit a et b deux réels tels que a_n < <a b. D’après la question précédente, on a :

( )

^{1 xa 2 xa ... n xa 1}

a a

a

a a

x a a a

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜⎝ ⎟⎠ + +⎜⎝ ⎟⎠ = et b

( )

b ^{1 xb 2 xb ... n xb 1}

a

a a

x b b b

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜⎝ ⎟⎠ + +⎜⎝ ⎟⎠ =

On a aussi :

( )

( )

1 2

1 2 1 2

1 2

1

...

... ...

...

b b b

b b b b b b b

b b b

b b

b b b

b

b

x

x x

n

a b

x x x x x x x

n n

x x x

x x

x x x

n

b b

x

x

a a a

x a a a

a a a a a a b

a b a

a a a b b

b a x a

b a

=

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Φ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎜⎝ ⎟⎠ + +⎜⎝ ⎟⎠

+ + + + + +

= = ×

+ + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ×⎜ ⎟⎝ ⎠ = Φ ×⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠

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Comme on a b 1

a > et x_b >0, il vient 1

xb

b

⎛ ⎞ >a

⎜ ⎟⎝ ⎠ . D’où, en tenant compte de la décroissance stricte de la fonction Φ_a :

( )

¹

( ) ( )

a xb a xb a xa xb xa

Φ > ⇔ Φ > Φ ⇔ <

Ainsi, a_n < < ⇒a b x_b <x_a.

Question 3.

Soit ϕ la fonction définie par :

]

^;

[

^*

: ⁿ

a

a

a x

ϕ ^⎧⎪_⎨ ^{+ ∞ → +}

⎪⎩

D’après la question précédente, la fonction ϕ est strictement décroissante. Etant minorée par 0, elle admet donc une limite finie en +∞.

On a : na₁^x <a₁^x+a₂^x+ +... a_n^x <na_n^x⇒na₁^xa <a₁^xa+a₂^xa+ +... a_n^xa <na_n^xa, c'est-à-dire :

1

a a a

x x x

na <a <nan

D’où : ¹ 1

a a

a a

x x

n

x x

na na

a < < a , soit : ¹ 1

a

a x

x

an

n a n

a a

⎛ ⎞

⎛ ⎞ < <

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ puis :

ln _aln a1 0 ln _aln aⁿ

n x n x

a a

⎛ ⎞ + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠< < + ⎜⎝ ⎟⎠

En tenant compte du fait que ln a¹ a

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ et ln aⁿ a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ sont strictement négatifs, on obtient finalement l’encadrement suivant :

1

ln ln

ln ln

a

n

n n

x

a a

a a

< <

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On a immédiatement :

1

lim lim

a a

n

a a

a a

→+∞ = →+∞ = +∞ puis

1

lim ln lim ln

a a

n

a a

a a

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎛ ⎞= ⎜ ⎟= +∞

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

On a enfin :

1

ln ln

lim lim lim 0

ln ln

a a a a

n

n n

x

a a

a a

→+∞ = →+∞ = →+∞ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

lim _a 0

a x

→+∞ =

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L’encadrement

1

ln ln

ln ln

a

n

n n

x

a a

a a

< <

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

nous donne également :

1

ln ln

ln ln ln

ln ln

a

n

n n

a x a a

a a

a a

< <

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Soit :

1

ln ln

ln ln

ln ln

1 1

ln ln

a

n

n n

a x a

a a

a a

< <

− −

.

Comme ln ¹ ln

lim 1 lim 1 1

ln ln

n

a a

a a

a a

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎛ − ⎞= − =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , il vient finalement : ^lim

(

a^ln

)

^ln

a x a n

→+∞ = .

( )

lim _aln ln

a x a n

→+∞ =