Gaz réel: équation de Clausius

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ÉQUATION DE CLAUSIUS ET ÉTUDE D' UNE POMPE À CHALEUR

1)Soit P = f(V,T) l'équation d'état d'un gaz: P, T et V désignent la pression, la température absolue et le volume de l'unité de masse de gaz.

Dans une transformation infinitésimale réversible où V varie de dV et T varie de dT, la quantité de chaleur δQ reçue par le gaz peut s'exprimer par δQ=c_vdTℓdV.

a. Etablir l'expression du coefficient ℓ en fonction de T et de



^∂^∂^P^T



V

. b. Exprimer



^∂c^∂^V^v



T

en fonction de T et de



^∂^∂²^T^P²



V

.

2) Le gaz considéré est de l'air, de masse molaire moyenne M = 29 g, satisfaisant à l'équation de Clausius simplifiée:



^P^{T V}^a ²



^V−b^{ =}^{R T}^.

Les constantes a, b et r relatives à 1 kg d'air ont pour valeur:

a=14 10³J K m³ b=1,1 10⁻³ m³ r=286,6 J kg⁻¹K⁻¹ a. Montrer que la chaleur massique à volume constant c_v peut se mettre sous la forme:

c_v= 2 a

V T²fT où fTreprésente une fonction de T.

b. En prenant f(T) = K = constante, montrer que l'énergie interne massique est égale à U= − 2 a

V TK TK ' (K' = constante) et que l'entropie massique est égale à S= − a

V T²K ln Tr lnV−bK^'' K^''=constante.

3)Une pompe à chaleur fonctionne suivant un cycle de Carnot effectué par l'air étudié précédemment qui reçoit effectivement du travail et échange de la chaleur avec 2 sources.

Ce cycle est constitué par deux transformations adiabatiques et deux transformations isothermes toutes quatre réversibles.

Cette pompe à chaleur sert à chauffer la carlingue d'un avion volant à haute altitude.

La source froide est constituée par l'air extérieur à la pression P₁et à la température T₁=248 K.

La source chaude est l'air à l'intérieur de la carlingue à la pression P₂et à la température T₂=293 K.

La masse d'air effectuant le cycle de Carnot est égale à 1 kg.

On désigne par V_A et V_D V_AV_D les volumes de l'air aux extrémités de l'isotherme T₁ et par V_B et V_C V_BV_C les volumes aux extrémités de l ' isotherme T₂.

a. Représenter l'allure du cycle dans le plan (V, P).

b. Exprimer le travail reçu par le fluide le long de l'isotherme T₁, en fonction de V_A, V_D et T₁ puis le travail reçu le long de l'isotherme T₂ en fonction de V_B, V_Cet T₂.

c. Exprimer la quantité de chaleur Q₁ fournie par la source froide en fonction de V_A,V_D et T₁. A.N : Calculer Q₁pour V_A=2,37 m³ ; V_D=1,27 m³ ; T₁=248 K.

d. Exprimer Q₂, quantité de chaleur reçue par la carlingue, en fonction de V_B,V_C et T₂. A.N : Calculer Q₂ pour V_B=1,56 m³ ; V_C=0,84 m³ ; T₂=293 K.

e. Calculer le travail total W reçu au cours du cycle.

f. Calculer l 'efficacité e=

∣

^Q2

∣

W de cette pompe à chaleur et comparer cette valeur à celle qu'on obtiendrait en admettant que l'air est un gaz parfait. Conclusion.