Gaz réel: Enac 1981

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DÉTENTE DE JOULE−THOMSON D' UN GAZ RÉEL

Dans un tube aux parois adiabatiques, une mole de gaz se détend lentement et irréversiblement à travers une paroi poreuse depuis la pression P₁ et la température T₁ jusqu ' à la pression P₂P₁ et la température T₂.

On négligera les variations d'énergie cinétique de ce gaz sauf à la dernière question qui est indépendante des autres.

La quantité de chaleur échangée au cours d'une transformation élémentaire peut s'écrire:

δQ=C_pdTh dP où C_p et h sont des coefficients calorimétriques.

1)Pour une mole de gaz quelconque:

a. établir l'expression du coefficient h en fonction de T et de



^∂∂T^V



P

. b. exprimer h en fonction de V, T et de α= 1

V



^∂^∂T^V



P

.

2) Montrer que la détente de Joule-Thomson définie ci-dessus est isenthalpique.

3)En étudiant une détente de Joule-Thomson élémentaire faisant varier la température de dT et la pression de dP, calculer le coefficient  =



^∂^∂^TP



H

en fonction de α, C_p, V et T.

4)Si le gaz considéré est parfait, exprimer les coefficients h, α, µ et la variation de température ∆T=T₂−T₁ pour la détente de Joule-Thomson étudiée.

5)Le gaz considéré n'est pas un gaz parfait: α ne vérifie pas la relation donnée en 4).

Montrer que la détente s'accompagne d'un échauffement ou d'un refroidissement selon le signe de µ, que l'on étudiera en fonction des valeurs de αT , en précisant dans quel domaine il y a échauffement et dans quel domaine il y a refroidissement.

6)Le coefficient α dépend de T. Dans la suite (questions 6 et 7) on admettra que la mole de gaz suit l'équation de Van der Waals:



^P^V^a²



^V^{−b =}R T où a, b et R sont des constantes positives.

a. Exprimer α en fonction de V et T.

b. En déduire, en fonction de V, l'expression de la température T_i (température d'inversion) pour laquelle µ change de signe.

c. Préciser le signe de µ selon que T est inférieure ou supérieure à T_i et en déduire la condition vérifiée par la température si la détente produit un refroidissement.

d. Que devient T_i aux basses pressions? On admettra que b est négligeable devant V.

7)La mole de gaz suit toujours l'équation donnée en 6) et T_i a l'expression trouvée en 6 b.

a. Soit y=PV. Ecrire l 'équation P=fy correspondant à T=T_i.

b. Représenter dans le plan (P,y) la courbe correspondante et calculer les coordonnées des points remarquables.

c. Cette courbe sépare le plan (P, y) en 2 régions pour lesquelles on donnera le signe du coefficient µ et en précisant s'il s'agit d'un échauffement ou d'un refroidissement.

Pour liquéfier un gaz avec ce dispositif, dans quelle région doit-on se trouver?

8)Dans l'étude précédente on a négligé la variation de l'énergie cinétique du gaz traversant la paroi poreuse.

On considère maintenant une mole de gaz qui entre dans une tuyère horizontale aux parois adiabatiques avec une vitesse u₁, sous la pression P₁ et à la température T₁, et qui en sort à la vitesse u₂, sous la pression P₂ et à la température T₂.

a. Peut-on dire que la transformation est isenthalpique et pourquoi?

b. Exprimer ∆H en fonction de u₁, u₂ et de la masse molaire M du gaz étudié.