PanaMaths Juin 2014

PanaMaths Juin 2014

Soit ( x x

1

,

2

,..., x

_n

) dans \

ⁿ

. Montrer que :

2

2

1 1

n n

i i

i i

x n x

= =

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ≤ × ∑

Analyse

On travaille dans \ⁿ que l’on peut munir d’un produit scalaire simple. L’inégalité demandée doit alors nous faire penser à une inégalité classique et générale dans les espaces

préhilbertiens réels.

Résolution

On muni \ⁿ de son produit scalaire canonique : pour x=

(

x x1, 2, ...,x_n

)

et y=

(

y y1, 2, ...,y_n

)

on a

( )

1

|

n i i i

x y x y

=

=

∑

^.

On a alors : ²

( )

²

1

|

n i i

x x x x

=

= =

∑

^où est la norme euclidienne associé au produit scalaire canonique.

Rappelons également que l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit dans un espace préhilbertien réel :

(

^{x y,}

)

^{E ,2}

(

^{x y|}

) (

^{x x|}

) (

^{y y|}

)

∀ ∈ ≤ ×

Soit, en utilisant la norme euclidienne associée : ^∀

(

^{x y,}

)

^{∈E ,2}

(

^{x y|}

)

^{2≤ x 2× y 2.}

Avec x=

(

x x1, 2, ...,x_n

)

et y=

(

y y1, 2, ...,y_n

)

, l’inégalité se récrit :

2

2 2

1 1

n n

i i i

i i

x y x y

= =

⎛ ⎞ ≤ ×

⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

∑

Pour obtenir l’inégalité demandée, il suffit alors de choisir : y=

(

1, 1, ..., 1

)

.

PanaMaths Juin 2014

En effet, dans ce cas, on a : ²

( )

^{2 2}

1 1 1

1

n n n

i i i i

i i i

x y x x

= = =

⎛ ⎞ =⎛ × ⎞ =⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ^{et 2 2}

1 1

1 1

n n

i i

y n

= =

=

∑

=

∑

= ^. Il vient alors :

2 2

2 2 2

1 1 1 1

n n n n

i i i i i

i i i i

x y x y x n x

= = = =

⎛ ⎞ ≤ × ⇔⎛ ⎞ ≤ ×

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

⎠

∑

⎝

∑

⎠

∑

, qui est exactement l’inégalité

cherchée.

Résultat final

(

1 2

)

^{2 2}

1 1

, , ..., ,

n n

n

n i i

i i

x x x x n x

= =

⎛ ⎞

∀ ∈^\ ⎜⎝

∑

⎟⎠ ≤ ×

∑